Tích phân

Question

Tính tích phân I =

$\int\limits_0^\pi {\frac{{x\sin x}}{{{{\cos }^2}x - 4}}dx}$

nhầm, sao ko dùng tích phân từng phần mà lại đổi biến
Các bác làm giùm bài này với. Nghe đâu ở đây toàn bro. Chả biết thế nào ;))

score 5 · Answer 1

Thực chất bài toán này là trường hợp cụ thể của bài toán tổng quát sau đây.
Cho

$f$ liên tục trên

$[0;\pi ]$ . Ta có :

$\int\limits_{0}^{\pi } xf(\sin x)dx = \pi \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2} }f (\sin x) dx.$
Thật vậy,
Đặt

$t = \pi -x \Rightarrow dt = -dx$

$\Rightarrow \int\limits_{\frac{\pi}{2} }^{\pi }xf(\sin x)dx = - \int\limits_{\frac{\pi}{2} }^{0}(\pi - t)f(\sin t)dt = \int\limits_{0 }^{\frac{\pi}{2}}(\pi -x)f(\sin x)dx$

$\Rightarrow \int\limits_{0}^{\pi}x.f(\sin x)dx = \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2} }xf(\sin x)dx + \int\limits_{\frac{\pi}{2} }^{\pi}xf(\sin x)dx$

$= \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2} }xf (\sin x)dx + \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2} }(\pi -x)f(\sin x) dx$

$\Rightarrow \int\limits_{0}^{\pi } xf(\sin x)dx = \pi \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2} }f(\sin x)dx.$
Do đó,

$I =\int\limits_0^\pi {\frac{{x\sin x}}{{{{\cos }^2}x - 4}}dx} =\int\limits_0^\pi x{\frac{{\sin x}}{{{{\cos }^2}x - 4}}dx}= \pi \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2} }{\frac{{\sin x}}{{{{\cos }^2}x - 4}}dx}$
Đặt

$\cos x = t \Rightarrow \left\{ \begin{array} \sin xdx = - dt \\ x = 0:t = 1 \\ x = \frac{\pi}{2} :t = 0 \\ \end{array} \right.$

$\Rightarrow I = -\pi \int\limits_1^{0} {\frac{{dt}}{{{t^2} - 4}}} = \pi\int\limits_{0}^1 {\frac{{dt}}{{(t - 2)(t + 2)}}} = \frac{\pi }{4}\ln \left| {\frac{{t - 2}}{{t + 2}}} \right|\left| \begin{array} {\text{ }}1 \\ 0 \\ \end{array} \right.$

$=\boxed{\displaystyle - \frac{{\pi \ln 3}}{4}}$

Hãy ấn nút tam giác màu xanh bên cạnh đáp án để chấp nhận nếu như bạn thấy lời giải này chính xác nhé. Thanks!
Nếu bạn thấy lời giải này chính xác và có ích đối với bạn. Hãy ấn vào mũi tên bên cạnh đáp án để bình chọn( vote up ) nhé!

score 5 · Answer 2

Đặt

$x = \pi - t \Rightarrow \left\{ \begin{array} dx = - dt \\ x = 0:t = \pi \\ x = \pi :t = 0 \\ \end{array} \right.$ Khi đó:

$I = - \int\limits_\pi ^0 {\frac{{(\pi - t)\sin (\pi - t)}}{{{{\cos }^2}(\pi - t) - 4}}dt} = \int\limits_0^\pi {\frac{{(\pi - t)\sin t}}{{{{\cos }^2}t - 4}}dt} = \pi \int\limits_0^\pi {\frac{{\sin t}}{{{{\cos }^2}t - 4}}dt} - \int\limits_0^\pi {\frac{{t\sin t}}{{{{\cos }^2}t - 4}}dt}$

$= \pi \int\limits_0^\pi {\frac{{\sin x}}{{{{\cos }^2}x - 4}}dx} - \int\limits_0^\pi {\frac{{x\sin x}}{{{{\cos }^2}x - 4}}dx} = \pi \int\limits_0^\pi {\frac{{\sin x}}{{{{\cos }^2}x - 4}}dx} - I$

$\Rightarrow 2I = \pi \int\limits_0^\pi {\frac{{\sin x}}{{{{\cos }^2}x - 4}}dx} \Leftrightarrow I = \frac{\pi }{2}\int\limits_0^\pi {\frac{{\sin x}}{{{{\cos }^2}x - 4}}dx}$
Đặt

$cosx = t \Rightarrow \left\{ \begin{array} sinxdx = - dt \\ x = 0:t = 1 \\ x = \pi :t = - 1 \\ \end{array} \right.$

$\Rightarrow I = - \frac{\pi }{2}\int\limits_1^{ - 1} {\frac{{dt}}{{{t^2} - 4}}} = \frac{\pi }{2}\int\limits_{ - 1}^1 {\frac{{dt}}{{(t - 2)(t + 2)}}} = \frac{\pi }{8}\ln \left| {\frac{{t - 2}}{{t + 2}}} \right|\left| \begin{array} {\text{ }}1 \\ - 1 \\ \end{array} \right.$

$= - \frac{{\pi \ln 3}}{4}$

Hỏi	22-09-12 08:22 AM
Lượt xem	2574
Hoạt động	22-09-12 11:32 AM

Tích phân

2 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Tích phân

2 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Liên quan