Gọi $A(a,a^3-3a^2+1),
B(b,b^3-3b^2+1), (a \ne b \in \mathbb{R})$ là hai điểm
thuộc đồ thị $(C)$ cần tìm.
Điều kiện $AB=4\sqrt 2 \Leftrightarrow AB^2=32\Leftrightarrow
(a-b)^2+(a^3-b^3-3a^2+3b^2)^2=32
(*)$.
Mặt khác do tiếp tuyến tại $A$ và $B$ song song với nhau nên
$y'(a)=y'(b) \Leftrightarrow 3a^2-6a=3b^2-6b \Leftrightarrow (a^2-b^2)-2(a-b)=0
\Leftrightarrow a+b-2=0 \Leftrightarrow b=2-a$ (do $a \ne b$).
Thay $b=2-a$ vào $(*)$ ta được PT
$(2a-2)^2+\left[ {a^3-(2-a)^3-3a^2+3(2-a)^2} \right]^2=32$
$\Leftrightarrow 4a^6-24a^5+36a^4+16a^3-44a^2-8a-12=0$
$\Leftrightarrow 4(a-3)(a+1)(a^4-4a^3+4a^2+1)=0$
Nhận thấy $a^4-4a^3+4a^2+1 = a^2(a-2)^2+1 > 0 \forall a$,
Do đó $a=-1 \implies b=3$
hoặc $a=3\implies b=-1.$
Như vậy cặp điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán là $(-1;-3) (3;1)$.