Gọi A(a,a3−3a2+1),B(b,b3−3b2+1),(a≠b∈R) là hai điểm
thuộc đồ thị (C) cần tìm.
Điều kiện AB=4√2⇔AB2=32⇔(a−b)2+(a3−b3−3a2+3b2)2=32(∗).
Mặt khác do tiếp tuyến tại A và B song song với nhau nên
y′(a)=y′(b)⇔3a2−6a=3b2−6b⇔(a2−b2)−2(a−b)=0⇔a+b−2=0⇔b=2−a (do a≠b).
Thay b=2−a vào (∗) ta được PT
(2a−2)2+[a3−(2−a)3−3a2+3(2−a)2]2=32
⇔4a6−24a5+36a4+16a3−44a2−8a−12=0
⇔4(a−3)(a+1)(a4−4a3+4a2+1)=0
Nhận thấy a4−4a3+4a2+1=a2(a−2)2+1>0∀a,
Do đó a=−1⟹b=3
hoặc a=3⟹b=−1.
Như vậy cặp điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán là (−1;−3)(3;1).