|
|
Đặt $t=xy \implies x^2+y^2=\frac{t+1}{2} \implies x^4+y^4=(x^2+y^2)^2-2x^2y^2=\left (\frac{t+1}{2} \right )^2-2t^2=\frac{-7t^2+2t+1}{4}$
Từ đó,
$P=f(t)=\frac{-7t^2+2t+1}{4(2t+1)}$
Chú ý rằng từ $2(x^2+y^2)=xy+1\implies 2(x+y)^2=5xy+1 \implies \begin{cases}5xy+1 \ge 8xy \\ 5xy+1 \ge 0 \end{cases} \implies -\frac{1}{5} \le t \le \frac{1}{3}$.
Ta có $f'(t)=-\frac{7t(t+1)}{2(2t+1)^2}$.
$\begin{array}{c|ccccccccc}
t &-\frac{1}{5} & \; & \; & 0 & \; & \; & \frac{1}{3}\\
\hline
f^\prime(t) & \; & \; & + & 0 \; & \; & - \\
\hline
\; & \; & \; & \; & \; \frac{ 2 }{15 } \\
f(t) & \; & \; & \nearrow & \; & \; & \searrow & \; \\
\quad &\frac{1}{4} & \; & \; & \; & \; & \: & \frac{1}{4}
\end{array}$
Như vậy
GTLN của $P$ là $ \frac{ 2 }{15 } $ đạt được khi $t=0\Leftrightarrow \begin{cases}xy=0 \\2(x^2+y^2)=xy+1 \end{cases}$. Chẳng hạn khi $(x;y)=\left (\frac{1}{\sqrt 2};0 \right )$
GTNN của $P$ là $ \frac{1}{4} $ đạt được khi $\left[ {\begin{matrix} t=-\frac{1}{5}\\ t=\frac{1}{3}\end{matrix}} \right.\Leftrightarrow
\begin{cases}\left[ {\begin{matrix} xy=-\frac{1}{5}\\ xy=\frac{1}{3}\end{matrix}} \right. \\x=y \end{cases}$. Chẳng hạn khi
$(x;y)=\left (\frac{1}{\sqrt 3};\frac{1}{\sqrt 3} \right )$
|