|
|
Đặt t=xy⟹x2+y2=t+12⟹x4+y4=(x2+y2)2−2x2y2=(t+12)2−2t2=−7t2+2t+14
Từ đó,
P=f(t)=−7t2+2t+14(2t+1)
Chú ý rằng từ 2(x2+y2)=xy+1⟹2(x+y)2=5xy+1⟹{5xy+1≥8xy5xy+1≥0⟹−15≤t≤13.
Ta có f′(t)=−7t(t+1)2(2t+1)2.
t−15013f′(t)+0−215f(t)↗↘1414
Như vậy
GTLN của P là 215 đạt được khi t=0⇔{xy=02(x2+y2)=xy+1. Chẳng hạn khi (x;y)=(1√2;0)
GTNN của P là 14 đạt được khi [t=−15t=13⇔{[xy=−15xy=13x=y. Chẳng hạn khi
(x;y)=(1√3;1√3)
|