|
|
Thực chất đây là một bài toán dạng giải phương trình đại số bậc $4$.
Đặt $t = \tan \frac{x}{2} \implies \begin{cases}\sin x=\frac{2t}{1+t^2} \\\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2} \end{cases}$
PT đã cho tương đương với
$\displaystyle{1+2.\frac{1-t^2}{1+t^2}+\frac{2t}{1+t^2}.\frac{1-t^2}{1+t^2}}=0$
$\Leftrightarrow (1+t^2)^2+2(1-t^4)+2t(1-t^2)=0$
$\Leftrightarrow t^4+2t^3-2t^2-2t-3=0$
$\Leftrightarrow t^4+2t^3+t^2=3t^2+2t+3$
$\Leftrightarrow \left[ {t(t+1)} \right]^2=3t^2+2t+3$
Ta thêm vào tham số $a$ như sau,
$\Leftrightarrow \left[ {t(t+1)} \right]^2+2a.t(t+1)+a^2=(3+2a)t^2+2(a+1)t+a^2+3$
$\Leftrightarrow (t^2+t+a)^2=(3+2a)t^2+2(a+1)t+a^2+3 (*)$
Đặt $f(a)=(3+2a)t^2+2(a+1)t+a^2+3$. Bây giờ giả sử $a$ là số thỏa mãn
$\Delta'_f=(a+1)^2-(3+2a)(a^2+3)=0\Leftrightarrow a^3+a^2+2a+4=0 (**)$
Khi đó vế phải của PT $(*)$ có nghiệm duy nhất $t=-\frac{a+1}{3+2a}$. Và lúc đó
$\Leftrightarrow (t^2+t+a)^2=(3+2a)\left (t+\frac{a+1}{3+2a} \right )^2 (***)$
Chú ý rằng ràng buộc $(**)$ là ràng buộc có nghĩa vì PT bậc $3$ luôn có nghiệm, và nghiệm này được chọn thỏa mãn $3+2a>0$.
Như vậy từ $(***)$ ta thu được hai PT bậc hai và có thể giải tiếp được.
|