|
|
$\begin{cases}2^{|x|}+|x|=x^2+y+m \\ x^2+y^2=1 \end{cases}$ (I)
Điều kiện cần.
Giả sử hệ (I) có nghiệm duy nhất $(x_0; y_0)$. Do $(x_0; y_0)$ là nghiệm của hệ (I), do sự xuất hiện của các thành phần $|x|, x^2$ suy ra $( - x_0, y_0)$ cũng là nghiệm của hệ (I). Từ tính duy nhất nghiệm suy ra $x_0 = - x_0 \Leftrightarrow x_0 = 0 $
Thay vào hệ (I), ta được $\begin{cases}m=-y \\ y^2=1 \end{cases}$
Suy ra $m=-1$ hoặc $m=1$.
Điều kiện đủ.
a) Nếu $m=-1$ thì hệ (I) có dạng
$\begin{cases}2^{|x|}+|x|=x^2+y-1 (1)\\ x^2+y^2=1 (2)\end{cases}$ (II)
Từ PT $(2) \implies x^2 \le 1, y \le 1 \implies x^2+y-1 \le 1 $
Mặt khác hiển nhiên thấy, $2^{|x|}+|x| \ge 2^0+0=1$
Từ hai điều này dẫn tới $\begin{cases}|x|=0\\x^2= 1\\ y=1 \end{cases}$, đây là điều không thể xảy ra. Như vậy trong trường hợp này hệ đã cho vô nghiệm.
Do đó $m=-1$ không là giá trị cần tìm.
b) Nếu $m=1$ thì hệ (I) có dạng
$\begin{cases}2^{|x|}+|x|=x^2+y+1 \\ x^2+y^2=1 \end{cases}$ (III)
$\Leftrightarrow \begin{cases}2^{|x|}+|x|-x^2-1=y \\ x^2+(2^{|x|}+|x|-x^2+1)^2-1=0 (3)\end{cases}$
Xét PT $(3)$ dưới dạng $f(x)=0$, trong đó $f(x)=x^2+(2^{|x|}+|x|-x^2-1)^2-1$.
Nhận thấy $f(x)$ là hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và $f(0)=-1, f(1)=1$ nên PT $f(x)=0$ có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng $(0,1)$ mặt khác $f(x)$ là hàm chẵn nên nó nhận thêm $1$ nghiệm phân biệt khác là số đối của nghiệm trên.
Như vậy hệ (III) sẽ có ít nhất hai nghiệm.
Do đó $m=1$ cũng không là giá trị cần tìm.
Kết luận. Không tồn tại giá trị của $m$ nào để hệ (I) có nghiệm duy nhất.
Các bạn có thể tham khảo thêm phương pháp này tại chuyeen đề của chúng tôi
http://toan.hoctainha.vn/Thu-Vien/Chuyen-De/113571/dieu-kien-can-va-du-trong-loi-giai-bai-toan-dai-so
|