Tìm m

Question

Tìm

$m$ để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

$2^{|x|}+|x|=x^2+y+m$ và

$x^2+y^2=1$

score 6 · Answer 1

$\begin{cases}2^{|x|}+|x|=x^2+y+m \\ x^2+y^2=1 \end{cases}$ (I)
Điều kiện cần.
Giả sử hệ (I) có nghiệm duy nhất

$(x_0; y_0)$ . Do

$(x_0; y_0)$ là nghiệm của hệ (I), do sự xuất hiện của các thành phần

$|x|, x^2$ suy ra

$( - x_0, y_0)$ cũng là nghiệm của hệ (I). Từ tính duy nhất nghiệm suy ra

$x_0 = - x_0 \Leftrightarrow x_0 = 0$
Thay vào hệ (I), ta được

$\begin{cases}m=-y \\ y^2=1 \end{cases}$
Suy ra

$m=-1$ hoặc

$m=1$ .
Điều kiện đủ.
a) Nếu

$m=-1$ thì hệ (I) có dạng

$\begin{cases}2^{|x|}+|x|=x^2+y-1 (1)\\ x^2+y^2=1 (2)\end{cases}$ (II)
Từ PT

$(2) \implies x^2 \le 1, y \le 1 \implies x^2+y-1 \le 1$
Mặt khác hiển nhiên thấy,

$2^{|x|}+|x| \ge 2^0+0=1$
Từ hai điều này dẫn tới

$\begin{cases}|x|=0\\x^2= 1\\ y=1 \end{cases}$ , đây là điều không thể xảy ra. Như vậy trong trường hợp này hệ đã cho vô nghiệm.
Do đó

$m=-1$ không là giá trị cần tìm.
b) Nếu

$m=1$ thì hệ (I) có dạng

$\begin{cases}2^{|x|}+|x|=x^2+y+1 \\ x^2+y^2=1 \end{cases}$ (III)

$\Leftrightarrow \begin{cases}2^{|x|}+|x|-x^2-1=y \\ x^2+(2^{|x|}+|x|-x^2+1)^2-1=0 (3)\end{cases}$
Xét PT

$(3)$ dưới dạng

$f(x)=0$ , trong đó

$f(x)=x^2+(2^{|x|}+|x|-x^2-1)^2-1$ .
Nhận thấy

$f(x)$ là hàm liên tục trên

$\mathbb{R}$ và

$f(0)=-1, f(1)=1$ nên PT

$f(x)=0$ có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng

$(0,1)$ mặt khác

$f(x)$ là hàm chẵn nên nó nhận thêm

$1$ nghiệm phân biệt khác là số đối của nghiệm trên.
Như vậy hệ (III) sẽ có ít nhất hai nghiệm.
Do đó

$m=1$ cũng không là giá trị cần tìm.
Kết luận. Không tồn tại giá trị của

$m$ nào để hệ (I) có nghiệm duy nhất.

Các bạn có thể tham khảo thêm phương pháp này tại chuyeen đề của chúng tôi
http://toan.hoctainha.vn/Thu-Vien/Chuyen-De/113571/dieu-kien-can-va-du-trong-loi-giai-bai-toan-dai-so

oke thanks bạn. Giải rất cụ thể chi tiết. Bình chọn cho bạn.
Nếu bạn thấy lời giải này chính xác và có ích đối với bạn. Hãy ấn vào mũi tên bên cạnh đáp án để bình chọn( vote up ) nhé!

1 Đáp án