Giới hạn của dãy số

Question

Cho dãy

$(u_n)$ xác định bởi

$\begin{cases}u_1=8 \\ u_{n+1}=\sqrt u_n +2\end{cases}$
Gọi

$(v_n)$ là dãy xác định bởi

$v_n=u_n-4$
a) Chứng minh

$\lim v_n=0$
b) Tìm

$\lim u_n$

score 10 · Answer 1

a)

$v_n=u_n-4$

$\Rightarrow v_{n+1}=u_{n+1}-4=\sqrt u_n +2-4=\sqrt u_n-2 =\frac{u_n-4}{\sqrt {u_n}+2} \leq \frac{u_n-4}{3} \forall n$
Do đó

$0< v_{n+1} < \frac{1}{3} v_n \forall n$ (chú ý rằng

$u_n>1 \forall n$ )
Ta có:

$v_2 \leq \frac{1}{3}v_1$ và

$v_3 \leq \frac{1}{3} v_2 \leq (\frac{1}{3} )^2 v_1$
Bằng quy nạp, ta dễ chứng minh được:

$0< v_n \leq (\frac{1}{3} )^{n-1}v_1=4(\frac{1}{3} )^{n-1}$
Vậy

$\lim v_n=0$ vì

$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty }(\frac{1}{3} )^{n-1}=0$ (đpcm)
b) Vì

$v_n=u_n-4 \Rightarrow \lim v_n= \lim u_n -4$ hay

$0=\lim u_n -4$ .
Vậy

$\lim u_n=4$ .

1 Đáp án