|
|
Đặt $u_1=a^2; u_2=b^2; u_3=c^2$. Vì $u_1, u_2, u_3$ lập thành một cấp số cộng nên $u_2-u_1=u_3-u_2$ hay $b^2-a^2=c^2-b^2 (1)$
Đặt $v_1=\dfrac{1}{a+b}; v_2=\dfrac{1}{a+c}; v_3=\dfrac{1}{b+c} $.
Muốn chứng minh $v_1, v_2, v_3$ lập thành một cấp số cộng, ta phải chứng minh $v_2-v_1=v_3-v_2$ hay
$\dfrac{1}{a+c}-\dfrac{1}{a+b}=\dfrac{1}{b+c}-\dfrac{1}{a+c} (2) $
Ta có: $\dfrac{1}{a+c}-\dfrac{1}{a+b}=\dfrac{b-c}{(a+b)(a+c)}=\dfrac{b^2-c^2}{(a+b)(a+c)(b+c)} $
$\dfrac{1}{b+c}-\dfrac{1}{a+c}=\dfrac{a-b}{(a+c)(b+c)}=\dfrac{a^2-b^2}{(a+b)(a+c)(b+c)} $
Từ $(1)$ suy ra $(2)$. Vậy $\dfrac{1}{a+b}, \dfrac{1}{a+c}, \dfrac{1}{b+c} $ lập thành một cấp số cộng.
|