lượng giác

Question

Gọi $\alpha , \beta, \gamma $ là ba góc của một tam giác. Chứng minh rằng:
$\frac{\cos \alpha }{\sin \beta \sin \gamma }+\frac{\cos \beta }{\sin \alpha \sin \gamma }+\frac{\cos\gamma}{\sin \alpha \sin \beta }=2$.

Đỗ Quang Chính · Answer 1 · 7/18/2012 3:54:00 PM

Vì $\alpha, \beta, \gamma$ là ba góc của một tam giác nên ta có:
$\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma \neq 0$
Nhân hai vế của bất đẳng thức ở đề bài cho $ \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma $ ta được:
$\sin \alpha \cos \alpha +\sin \beta \cos \beta +\sin \gamma \cos \gamma =2\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma .$
Áp dụng công thức $\sin 2 \alpha =2 \sin \alpha \cos \alpha $ để biến đổi, ta được
$\sin 2 \alpha +\sin 2 \beta +2 \sin \gamma \cos \gamma =4 \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma .$
Với chú ý rằng $\alpha + \beta+\gamma=180^\circ $.
Ta có : $\sin 2 \alpha +\sin 2 \beta +2 \sin \gamma \cos \gamma =2\sin (\alpha+ \beta)\cos (\alpha - \beta)-2\sin \gamma\cos (\alpha+ \beta)$
$=2\sin \gamma\cos (\alpha - \beta)-2\sin \gamma\cos (\alpha+ \beta)$
$=2\sin \gamma \left ( \cos (\alpha - \beta)- \cos (\alpha+ \beta)\right )$
$=4 \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma$ (đpcm).

Hỏi	18-07-12 03:14 PM
Lượt xem	1748
Hoạt động	18-07-12 03:54 PM

lượng giác

1 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

lượng giác

1 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Liên quan