|
|
Đặt $\ln x=t\;\Rightarrow x=e^t\;\Rightarrow dx=e^tdt$
Đổi cận: $x=1\;\;\Rightarrow t=0$
$x=e^\pi\;\Rightarrow t=\pi$
Từ đó: $I=\int\limits_0^\pi e^t\cos tdt=\int\limits_0^\pi\cos td(e^t)$
$=e^t\cos t\left|\begin{array}{I}\pi\\0\end{array}\right.-\int\limits_0^\pi e^td(\cos t)$
$=-e^\pi-1+\int\limits_0^\pi e^t\sin tdt$
$=-e^\pi-1+\int\limits_0^\pi \sin td(e^t)$
$=-e^\pi-1+e^t\sin t\left|\begin{array}{I}\pi\\0\end{array}\right.-\int\limits_0^\pi e^td(\sin t)$
$=-e^\pi-1-\int\limits_0^\pi e^t\cos tdt=-e^\pi-1-I$
Suy ra: $I=\frac{-e^\pi-1}{2}$.
|