Chứng minh

Question

Chứng minh với $\forall m$ phương trình sau luôn có nghiệm: $\frac{1}{\sin x} +\frac{1}{\cos x}=m $ (1)
Tìm $m$ để (1) có nghiệm $ \in( {0;\frac{\pi }{2}} )$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 7/13/2012 8:32:05 AM

Điều kiện $\left\{ \begin{array}{l}
\sin x \ne 0\\
c{\rm{osx}} \ne 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ne k\frac{\pi }{2}$
$\left( 1 \right) \Leftrightarrow {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + c{\rm{osx}} - m\sin {\rm{x}}c{\rm{osx}} = 0$                (2)
Đặt ${\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + c{\rm{osx = t}}$, $t \in \left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right],t \ne \pm 1$, (3) trở thành
$t - m.\frac{{{t^2} - 1}}{2} = 0 \Leftrightarrow f\left( t \right) = m{t^2} - 2t - m$                (3)
Phải chứng minh (3) có ít ra 1 nghiệm $ \ne \pm 1$ và $ \in \left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right]$
Trường hợp $m = 0$ (3) có nghiệm $t = 0$: thõa mãn
Trường hợp $m \ne 0$: $f\left( { \pm 1} \right) = \pm 2 \Rightarrow \pm 1$ không phải là nghiệm của (3)
Mặt khác $f\left( 1 \right).f\left( { - 1} \right) = - 4 < 0$ nên có nghiệm $ \in \left( { - 1;1} \right)$. Cũng thuộc $ \in \left( { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right)$
Vậy với $\forall m$ (3) đều có nghiệm thích hợp $ \Rightarrow \left( 1 \right)$ có nghiệm   (đpcm)
Để (1) có nghiệm $ \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)$. Vẫn đưa phương trình về dạng (3), nhưng do x $ \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)$ nên
$t = {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + c{\rm{osx}} = \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) \in \left( {1,\sqrt 2 } \right)$( vì $x + \frac{\pi }{4} \in \left( {\frac{\pi }{4};\frac{{3\pi }}{4}} \right) \Rightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) \in \left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2};1} \right]$)
$ \Rightarrow t = \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) \in \left( {1;\sqrt 2 } \right]$
Vậy (3) phải có ít nhất một nghiệm $ \in \left( {1;\sqrt 2 } \right]$
Trường hợp $m = 0$ loại vì (3) có nghiệm $t = 0 \in \left( {1;\sqrt 2 } \right]$
Trường hợp $m \ne 0$. Do $f\left( { - 1} \right).f\left( 1 \right) = - 4 < 0$ nên (3) có 1 nghiệm ${t_1} \in \left( { - 1;1} \right)$ nghiệm ${t_2}\overline \in \left( { - 1;1} \right]$, để ${t_2} \in \left( {1,\sqrt 2 } \right]$ phải có
$\left\{ \begin{array}{l}
m.f\left( 1 \right) < 0\\
m.f\left( {\sqrt 2 } \right) \ge 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m\left( { - 2} \right) < 0\\
m.\left( {m - 2\sqrt 2 } \right) \ge 0
\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow m \ge 2\sqrt 2 $. Đây là các giá trị $m$ cần tìm

Hỏi	12-07-12 11:11 PM
Lượt xem	2740
Hoạt động	13-07-12 08:32 AM

Chứng minh

1 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Chứng minh

1 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Liên quan