|
|
Theo định lý hàm số sin ,ta có:
$\begin{array}{l}
a = b(1 + 2\cos 2B)\\
\Leftrightarrow \sin A = \sin B(1 + 2\cos 2B)\\
\Leftrightarrow \sin A = \sin B + \sin 3B - \sin B\\
\Leftrightarrow \sin A = \sin 3B (1)
\end{array}$
Từ $(1)$ suy ra có $2$ khả năng sau:
$1.$ $A=3B$
Do mà $A=3B$ nên
Dễ thấy :
Vậy $AMC$ cũng là tam giác cân
$2.$ Nếu $A + 3B = {180^0}$
Khi đó ta có $A+3B=A+B+C$
$\Rightarrow C = 2B$
Kẻ $AE \bot BC$.Gọi $M$ là điểm đối xứng của $B$ qua $E$ suy ra $ABM$
Là tam giác cân
Ta có mà $C=2B$ nên suy ra :
Ta có (đpcm)
Mệnh đề đảo nói chung không đúng
Xét tam giác $ABC$ vuông tại $A$, $C = {70^0},B = {20^0}$
Khi đó lấy $M$ là trung điểm $BC$ thì ta có
$MB=MC=MA$ tức là tồn tại $M$ sao cho $ABM$ và $ACM$ là tam giác cân
Nhưng khi đó $sinA=1$, $sin3B=\frac{{\sqrt 3 }}{2}$
$\Rightarrow \sin A\neq \sin 3B \Rightarrow a \neq b(1 + 2\cos B)$
Suy ra (đpcm)
|