Phương trình bậc hai chứa tham số

Question

Cho phương trình;

$(m+1)x^2-2(m+2)x+m-3=0$ .
a) Tùy theo giá trị tham số

$m$ , cho biết số nghiệm của phương trình.
b) Xác định giá trị tham số

$m$ để phương trình có nghiệm

$x_1=4$ . Tính

$x_2$ .
c) Xác định giá trị tham số

$m$ để hệ thức sau đây được thỏa mãn:

$(4x_1+1)(4x_2+1)-18=0$ .

d) Thành lập một hệ thức giữa các nghiệm độc lập với tham số

$m$ . Sử dụng hệ thức này để xác nhận kết quả tìm được trong câu b).

score 6 · Answer 1

a) Với

$m=-1$ : Phương trình có nghiệm duy nhất

$x=-2$
Với

$m \neq -1$ : Phương trình có biệt thức

$\Delta =6m+7$ .
Với

$m=-\frac{7}{6}$ : Phương trình có nghiệm kép

$x_1=x_2=-5$ .
Với

$m>-\frac{7}{6}$ : Phương tình có hai nghiệm phân biệt:

$X=\frac{m+2\pm \sqrt{6m+7} }{m+1} (m \neq -1)$ .
Với

$m<-\frac{7}{6}$ : Phương trình vô nghiệm.

b) Thay

$x_1=4$ vào PT đã cho ta được :

$16(m+1)-8(m+2)+m-3=0\Leftrightarrow m=\frac{1}{3}$
Thay

$m=\frac{1}{3}$ trở lại PT ban đầu ta có :

$\frac{4}{3}x^2-\frac{14}{3}x-\frac{8}{3}=0\Rightarrow x_2= - \frac{1}{2}$

c) Theo định lý Vi-ét ta có :

$\begin{cases}x_1+x_2=\frac{2(m+2)}{m+1} \\ x_1x_2=\frac{m-3}{m+1} \end{cases}$
Do đó :

$(4x_1+1)(4x_2+1)-18=0\Leftrightarrow16x_1x_2+4(x_1+x_2)-17=0$

$\Leftrightarrow\frac{16(m-3)}{m+1}+\frac{8(m+2)}{m+1} -17=0\Leftrightarrow m=7$

d) Với

$m \neq -1$ thì PT đã cho là PT bậc hai. Theo định lý Vi-ét ta có :

$\begin{cases}x_1+x_2=\frac{2(m+2)}{m+1}=2+\frac{2}{m+1} \\ x_1x_2=\frac{m-3}{m+1} =1-\frac{4}{m+1}\end{cases}$

$\Rightarrow 2(x_1+x_2)+x_1x_2=5$ .
Khi

$x_1=4$ , hệ thức trên cho ta:

$2(4+x_2)+4x_2-5=0 \Rightarrow 6x_2+3=0 \Rightarrow x_2=-\frac{1}{2}$

1 Đáp án