BĐT tam giác

Question

Cho tam giác

$ABC$ . Chứng minh rằng:

$\cos A.\cos B.\cos C \le \frac{1}{8}$

score 4 · Answer 1

$\cos A.\cos B.\cos C \le \frac{1}{8}$ Thât vậy :

$cosAcosBcosC-\frac{1}{8}=\frac{1}{2} [cos(A+B)+cos(A-B)]cosC-\frac{1}{8}$

$=\frac{1}{2} [-cos^2C+cos(A-B)cosC-\frac{1}{4} ]$

$=-\frac{1}{2} [(cosC-\frac{1}{2}cos(A-B))^2+\frac{1}{4} -\frac{1}{4}cos^2(A-B) ]$

$=-\frac{1}{2} [(cosC-\frac{1}{2}cos(A-B) )^2+\frac{1}{4} sin^2(A-B)]\leq 0$
Suy ra

$cosA.cosB.cosC\leq \frac{1}{8}$
Dấu

$"="$ xảy ra

$\Leftrightarrow \begin{cases}cosC=\frac{1}{2}cos(A-B) \\ sin(A-B)=0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow A=B=C=\frac{\pi}{3}$ hay

$\Delta ABC$ đều

một người vì mọi người.....tất cả vì mọi người – Tiểu Bắc 06-07-12 11:22 AM

add nì hoạt động chăm chỉ quá khà khà :)) – muamuahe1110 06-07-12 10:40 AM

1 Đáp án