BĐT Tam giác

Question

Cho tam giác

$ABC$ có

$A \ge \frac{{2\pi }}{3}$ . CMR:

$c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}B + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}C - 2{\cos ^2}A \le 1$

score 6 · Answer 1

Do:

$A \ge \frac{{2\pi }}{3} \Rightarrow B + C$
Ta có

$\cos B\cos C$ =

$\frac{1}{2}\left[ {c{\rm{os}}(B + C) + c{\rm{os}}(B - C)} \right]$
Do cos

$(B+C)=-cosA>0$ (do

$A \ge \frac{{2\pi }}{3} \Rightarrow \cos A < 0$ )

$cos(B+c)cos(B-C)\leq cos(B+c)(cos(B-C)\leq 1$

$cosBcosC\geq \frac{1}{2}[cos(B+C)cos(B-C)+cos(B-C)]$

$cosBcosC\geq cos^2\frac{B+C}{2}cos(B-C)$

$cosBcosC\geq sin^2\frac{A}{2}(cosBcosC+sinBsinC$

$(1-sin^2\frac{A}{2})cosBcosC\geq sin^2\frac{A}{2}sinBsinC (1)$
Do

$A \ge \frac{{2\pi }}{3} \Rightarrow B,C \in (0,\frac{\pi }{2}) \Rightarrow \cos B\cos C > 0$ . Vì thế từ

$(1)$ suy ra

$\frac{{c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\frac{A}{2}}}{{{{\sin }^2}\frac{A}{2}}} \ge \frac{{\sin B\sin C}}{{\cos B\cos C}} \Leftrightarrow \cot {g^2}\frac{A}{2} \ge tanBtanC (2)$
Lại do

$A \ge \frac{{2\pi }}{3} \Rightarrow \frac{\pi }{2} \ge \frac{A}{2} \ge \frac{\pi }{3} \Rightarrow \cot\frac{A}{2} \le \frac{{\sqrt 3 }}{3}$ ,vậy từ

$(2)$ có

$tanBtanC \le \frac{1}{3} (3)$
Vì trong mọi tam giác

$ABC$ có

$tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC$ , nên từ

$(3)$ với chú ý là

$tanA<0$ ,suy ra :

$tanA + tanB + tanC \ge \frac{1}{3}tanA$

$\Leftrightarrow tanB+tanC\geq \frac{-2}{3}tanA$

$\Leftrightarrow tanB+tanC\geq \frac{-2sinA}{3cosA}$

$\Leftrightarrow \frac{sin(B+C)}{b=cosBcosC\geq \frac{-2sinA}{3cosA} (4)}$
Vì

$sinA>0$ nên từ

$(4)$ ta có :

$2cosBcosC\leq -3cosA$

$\Rightarrow 2cosAcosBcosC\geqslant -3cos^2A$ (do

$cosA<0)$
Áp dụng công thức

$c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}A + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}B + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}C = 1 - 2\cos A\cos B\cos C$ , ta có :

$1 - (c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}A + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}B + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}C) \ge - 3{\cos ^2}A \Leftrightarrow 1 \ge c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}B + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}C - 2{\cos ^2}A$
Đó là (đpcm). Dấu

$“=”$ xảy ra khi B=C,

$A = \frac{{2\pi }}{3}$
Nhận xét :

$1/$ Kết hợp bài

$246$ , ta có hệ quả sau:
Cho tam giác

$ABC$ có

$A=max(A,B,C)$ và thỏa mãn điều kiện :

$\frac{{\sin A + \sin B + \sin C}}{{\cos A + \cos B + \cos C}} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}$
CMR :

$c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}B + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}C - 2{\cos ^2}A \le 1$

$2/$ Tương tự ta có kết quả sau:
Cho tam giác

$ABC$ thỏa mãn điều kiện :

$\frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{a + b + c}} \le 6\sqrt 3 R$
CMR:

$\frac{{\cos B + \cos A + \cos C}}{{\sin A + \sin B + \sin C}} < \frac{{\sqrt 3 }}{2}$
Xin dành cho bạn đọc

score 5 · Answer 2

Bình chọn tăng 5 Bình chọn giảm

Cần trả +1,000vỏ sò để xem nội dung lời giải này

Hỏi	11-07-12 01:28 PM
Lượt xem	3911
Hoạt động	12-07-12 12:56 PM

BĐT Tam giác

2 Đáp án

Cần trả +1,000vỏ sò để xem nội dung lời giải này

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

BĐT Tam giác

2 Đáp án

Cần trả +1,000vỏ sò để xem nội dung lời giải này

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Liên quan