Chứng minh rằng

Question

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trong $(1 ; + \infty )$và thỏa mãn điều kiện
$f(xy) = xf(y) + yf(x),\forall x,y > 1$ (1)
Chứng minh rằng, với mọi $k > 0$ và mọi $x > 1$ ta có
$f(x^k) = k.x^{k - 1}f(x)$ (2)

hoàng anh thọ · Answer 1 · 7/6/2012 8:34:28 AM

1) $k \in {N^ + }$. Với $k = 1$ ta có
    $f({x^1}) = 1.{x^o}f(x) = 1.{x^{1 - 1}}f(x)$    : (2) đúng
Giả sử (2) đúng với $k = n \in {N^ + }$:
    $f({x^n}) = n{x^{n - 1}}f(x)$            (*)
Theo nguyên lý nạp toán học ta cần chứng minh (2) đúng với $k = n + 1$. Theo (1) ta có
    $\begin{array}{l}
f({x^{n + 1}}) = f({x^n}x) = {x^n}f(x) + xf({x^n})
= {x^n}f(x) + x.n{x^{n - 1}}f(x){\rm{ (do (*))}}
{\rm{ = (n + 1)}}{{\rm{x}}^n}f(x)
\end{array}$
2) $k \in Q,k > 0$, tức là $k = \frac{p}{q} $ trong đó $p,q \in {N^ + }$. Theo chứng minh phần 1) ta có
    $\begin{array}{l}
f({x^p}) = p{x^{p - 1}}f(x),\\
f[{({x^{p/q}})^q}{\rm{]}} = q{({x^{p/q}})^{q - 1}}f({x^{p/q}})\\
\Leftrightarrow f({x^{p/q}}) = \frac{p}{q}{x^{p/q - 1}}f(x)
\end{array}$
Tức là $f({x^k}) = k{x^{k - 1}}f(x)$
3) $k \in R,k > 0$. Khi đó ta chọn được dãy số hữu tỉ dương     ${k_1},{k_2}....$ để $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {k_n} = k$
Theo giả thiết, f(x) liên tục nên đối với mọi     $x > 1$ ta có
$f({x^k}) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } f({x^{{k_n}}}) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {k_n}{x^{{k_n} - 1}}f(x)$    (do (2))
            $ = k.{x^{k - 1}}f(x).$

Hỏi	06-07-12 12:52 AM
Lượt xem	2371
Hoạt động	06-07-12 08:34 AM

Chứng minh rằng

1 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Chứng minh rằng

1 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Liên quan