Tìm giá trị nhỏ nhất

Question

Cho $a \ge 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: $y=\sqrt{a+\cos x}+ \sqrt{a+\sin x} $

Đỗ Quang Chính · Answer 1 · 7/6/2012 5:16:11 PM

Vì $a \ge 1$ nên hàm số xác định với mọi $y = m$ và $y \ge 0$, do đó xét
$z = {y^2} = 2a + c{\rm{osx + sinx + 2}}\sqrt {{{\rm{a}}^{\rm{2}}} + a(c{\rm{osx + sinx}}) + c{\rm{osxsinx}}} $
Đặt $t = c{\rm{osx + sinx, }}\left| {\rm{t}} \right| \le \sqrt {\rm{2}} $ ta có
$cosxsinx = ({{\rm{t}}^{\rm{2}}}{\rm{ - 1)/2 và z = 2a + t + }}\sqrt {\rm{2}} \sqrt {{{(t + a)}^2} + {a^2} - 1} $.
a)    Nếu $a = 1 = > z = 2 + t + \sqrt 2 \left| {t + 1} \right| = > \min z = 1 = > \min y = 1$, đạt được khi $t = - 1$.
b)    Nếu $a > 1 = > z$ có đạo hàm với mọi $t$:
$z' = 1 + \frac{{\sqrt 2 (t + a)}}{{\sqrt {{{(t + a)}^2} + {a^2} - 1} }}$
i)    $t + a \ge 0 \Leftrightarrow t \ge - a:z' > 0$
ii)    $t + a < 0 \Leftrightarrow t < - a:$
$z' = 0 \Leftrightarrow \sqrt {{{(t + a)}^2} + {a^2} - 1} = - \sqrt 2 (t + a)$
${\left( {t + a} \right)^2} = {a^2} - 1 \Leftrightarrow - a + \sqrt {{a^2} - 1} $ (loại),
$t = - a - \sqrt {{a^2} - 1} $
Ta có bảng biến thiên của $z$
Lưu ý rằng: $ - a + \sqrt {{a^2} - 1} \le - \sqrt 2 \Leftrightarrow a \ge 3\sqrt 2 /4$
Từ bảng biến thiên ta có kết quả
* $a \ge 3\sqrt 2 /4$
$\mathop {\min }\limits_{\left| t \right| \le \sqrt 2 } {y^2} = z( - a + \sqrt {{a^2} - 1} ) = a + \sqrt {{a^2} - 1} $
$\Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left| t \right| \le \sqrt 2 } y = \sqrt {a + \sqrt {{a^2} - 1} } $

Hỏi	06-07-12 12:48 AM
Lượt xem	1689
Hoạt động	06-07-12 05:16 PM

Tìm giá trị nhỏ nhất

1 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Tìm giá trị nhỏ nhất

1 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Liên quan