|
|
$a)$ Parabol ${y^2} = 4x$ có tiêu điểm $F(1;0)$ và đường chuẩn $x =-1$
Xét điểm $N(-1;a)$ thuộc đường chuẩn. Đường thẳng này tiếp xúc với đường thẳng $kx – y + k + a = 0$
$4{( - 1)^2} = 4k(k + a)$
$ \Leftrightarrow {k^2} + ak - 1 = 0 (1)$
Ta
thấy $\forall a$, ($1$) luôn có nghiệm phân biệt có tích ${k_1}{k_2} =-
1$. Do đó $\forall N( -1;a)$thuộc đường chuẩn, từ $N$ luôn kẻ được tới
Parabol $2$ tiếp tuyến vuông góc nhau.
$b)$ Tiếp tuyến $N{T_1}$ có
tiếp điểm $T1(x_1;y_1)$ và hệ số góc $k_1$, trong đó $y_1$ là nghiệm kép
của $(3)$ ứng với $k = k1 \Rightarrow {y_1} = \frac{2}{{{k_1}}}
\Rightarrow {x_1} = \frac{1}{4}\,;y_1^2 = \frac{1}{{k_1^2}}$
Tương tự
tiếp tuyến $NT_2$ có tiếp điểm $T2(x_2;y_2)$ với ${x_2} =
\frac{1}{{k_2^2}};{y_2} = \frac{2}{{{k_2}}}$. Xét các véc tơ
$\overrightarrow {F{T_1}} ;\overrightarrow {F{T_2}} $
$\begin{array}{l}
\overrightarrow {F{T_1}} = \left( {{x_1} - 1;{y_1} - 0} \right) = \left( {\frac{1}{{k_1^2}} -
1;\frac{1}{{{k_1}}}} \right) = \left( {\frac{{1 - k_1^2}}{{k_1^2}};\frac{2}{{{k_1}}}} \right)\\= \frac{1}{{{k_1}}}(a;2)
\end{array}$
Do $k_1; k_2$ là nghiệm của ($4$) $ \Rightarrow 1 - k_1^2 = a{k_1}$
Tương tự:
$\overrightarrow {F{T_1}} = \frac{1}{{{k_2}}}(a;2)$
Do đó $\overrightarrow {F{T_1}} ;\overrightarrow {F{T_2}} $ là 2 véc tơ cộng tuyến $ \Rightarrow
F;{T_1};{T_2}$ thẳng hàng $\Leftrightarrow {T_1}{T_2}$ luôn đi qua điểm đố định $F(1;0).$
$c)$ Giả sử $M(x_0;y_0)$ thuộc Parabol, $M \ne 0$ tức là $y_0^2 = 4x,{x_0} \ne 0$. Tiếp tuyến tại $M$ có phương trình:
${y_0}y = 2({x_0} + x)\,\,\,(5)$
Cho $x = 0$, $(5) \Rightarrow y = \frac{{2{x_0}}}{{{y_0}}} = \frac{{4{x_0}}}{{2{y_0}}} = \frac{{{y_0}}}{2}$ là tung độ của $B$
Cho $y = 0 (5) \Rightarrow x = - {x_0} = - \frac{{y_0^2}}{4}$ là hoành độ của $A$.
Trung điểm $I$ của $AB$ có tọa độ :
$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
{x_I} = \frac{{{x_A}}}{2} = - \frac{{y_0^2}}{8}\\
{y_I} = \frac{{{y_B}}}{2} = \frac{{{y_0}}}{4}
\end{array} \right. \Rightarrow {y_0} = 4{y_I}\\
\Rightarrow {x_I} = - \frac{{{{(4{y_I})}^2}}}{8} = -2y_I^2 \Leftrightarrow y_I^2 = - \frac{1}{2}{x_I}
\end{array}$
Quỹ tích $I$ là parabol với phương trình ${y^2} = - \frac{1}{2}x$
|