Cho Parabol: $y^2= 4x$
$a)$ Chứng minh rằng từ điểm $N$ tùy ý thuộc đường chuẩn của Parabol có thể kẻ được hai tiếp tuyến đến Parabol mà hai tiếp tuyến ấy vuông góc nhau.
$b)$ Gọi $T_1; T_2$ lần lượt là hai tiếp điểm của hai tiếp tuyến nói ở câu trên.
Chứng minh rằng đường thẳng $T_1,T_2$ luôn đi qua một điểm cố định khi $N$ chạy trên đường chuẩn của Parabol.
$c)$ Cho $M$ là một điểm thuộc Parabol ($M$ khác đỉnh của Parabol). Tiếp tuyến tại $M$ của Parabol cắt các trục $Ox, Oy$ lần lượt tại $A, B$. Tìm quỹ tích trung điểm $I$ của $AB$ khi $M$ chạy trên Parabol đã cho.
$a)$ Parabol ${y^2} = 4x$ có tiêu điểm $F(1;0)$ và đường chuẩn $x =-1$
Xét điểm $N(-1;a)$ thuộc đường chuẩn. Đường thẳng này tiếp xúc với đường thẳng $kx – y + k + a = 0$
$4{( - 1)^2} = 4k(k + a)$
$ \Leftrightarrow {k^2} + ak - 1 = 0 (1)$
Ta thấy $\forall a$, ($1$) luôn có nghiệm phân biệt có tích ${k_1}{k_2} =- 1$. Do đó $\forall N( -1;a)$thuộc đường chuẩn, từ $N$ luôn kẻ được tới Parabol $2$ tiếp tuyến vuông góc nhau.
$b)$ Tiếp tuyến $N{T_1}$ có tiếp điểm $T1(x_1;y_1)$ và hệ số góc $k_1$, trong đó $y_1$ là nghiệm kép của $(3)$ ứng với $k = k1 \Rightarrow {y_1} = \frac{2}{{{k_1}}} \Rightarrow {x_1} = \frac{1}{4}\,;y_1^2 = \frac{1}{{k_1^2}}$
Tương tự tiếp tuyến $NT_2$ có tiếp điểm $T2(x_2;y_2)$ với ${x_2} = \frac{1}{{k_2^2}};{y_2} = \frac{2}{{{k_2}}}$. Xét các véc tơ $\overrightarrow {F{T_1}} ;\overrightarrow {F{T_2}} $
$\begin{array}{l}
\overrightarrow {F{T_1}}  = \left( {{x_1} - 1;{y_1} - 0} \right) = \left( {\frac{1}{{k_1^2}} -
1;\frac{1}{{{k_1}}}} \right) = \left( {\frac{{1 - k_1^2}}{{k_1^2}};\frac{2}{{{k_1}}}} \right)\\= \frac{1}{{{k_1}}}(a;2)
\end{array}$
Do $k_1; k_2$ là nghiệm của ($4$) $ \Rightarrow 1 - k_1^2 = a{k_1}$
Tương tự:
$\overrightarrow {F{T_1}}  = \frac{1}{{{k_2}}}(a;2)$
Do đó $\overrightarrow {F{T_1}} ;\overrightarrow {F{T_2}} $ là 2 véc tơ cộng tuyến $ \Rightarrow
F;{T_1};{T_2}$ thẳng hàng  $\Leftrightarrow  {T_1}{T_2}$ luôn đi qua điểm đố định $F(1;0).$
$c)$ Giả sử $M(x_0;y_0)$ thuộc Parabol, $M \ne 0$ tức là $y_0^2 = 4x,{x_0} \ne 0$. Tiếp tuyến tại $M$ có phương trình:
${y_0}y = 2({x_0} + x)\,\,\,(5)$
Cho $x = 0$, $(5) \Rightarrow y = \frac{{2{x_0}}}{{{y_0}}} = \frac{{4{x_0}}}{{2{y_0}}} = \frac{{{y_0}}}{2}$ là tung độ của $B$
Cho $y = 0 (5) \Rightarrow x =  - {x_0} =  - \frac{{y_0^2}}{4}$ là hoành độ của $A$.
Trung điểm $I$ của $AB$ có tọa độ :
$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
{x_I} = \frac{{{x_A}}}{2} =  - \frac{{y_0^2}}{8}\\
{y_I} = \frac{{{y_B}}}{2} = \frac{{{y_0}}}{4}
\end{array} \right. \Rightarrow {y_0} = 4{y_I}\\
 \Rightarrow {x_I} =  - \frac{{{{(4{y_I})}^2}}}{8} = -2y_I^2 \Leftrightarrow y_I^2 =  - \frac{1}{2}{x_I}
\end{array}$
Quỹ tích $I$ là parabol với phương trình ${y^2} = - \frac{1}{2}x$
mình giải chi tiết bạn tham khao kỹ nhé –  Tiểu Bắc 05-07-12 08:13 AM

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Chat chit và chém gió
  • Việt EL: ... 8/21/2017 8:20:01 AM
  • Việt EL: ... 8/21/2017 8:20:03 AM
  • wolf linhvân: 222 9/17/2017 7:22:51 AM
  • dominhdai2k2: u 9/21/2017 7:31:33 AM
  • arima sama: helllo m 10/8/2017 6:49:28 AM
  • ๖ۣۜGemღ: Mọi người có thắc mắc hay cần hỗ trợ gì thì gửi tại đây nhé https://goo.gl/dCdkAc 12/6/2017 8:53:25 PM
  • anhkind: hi mọi người mk là thành viên mới nè 12/28/2017 10:46:02 AM
  • anhkind: party 12/28/2017 10:46:28 AM
  • Rushia: . 2/27/2018 2:09:24 PM
  • Rushia: . 2/27/2018 2:09:25 PM
  • Rushia: . 2/27/2018 2:09:25 PM
  • Rushia: . 2/27/2018 2:09:26 PM
  • Rushia: . 2/27/2018 2:09:26 PM
  • Rushia: . 2/27/2018 2:09:26 PM
  • Rushia: . 2/27/2018 2:09:26 PM
  • Rushia: . 2/27/2018 2:09:27 PM
  • Rushia: . 2/27/2018 2:09:27 PM
  • Rushia: . 2/27/2018 2:09:28 PM
  • Rushia: . 2/27/2018 2:09:28 PM
  • Rushia: . 2/27/2018 2:09:28 PM
  • Rushia: . 2/27/2018 2:09:29 PM
  • Rushia: . 2/27/2018 2:09:29 PM
  • Rushia: . 2/27/2018 2:09:29 PM
  • Rushia: . 2/27/2018 2:09:29 PM
  • Rushia: . 2/27/2018 2:09:30 PM
  • Rushia: . 2/27/2018 2:09:30 PM
  • Rushia: . 2/27/2018 2:09:31 PM
  • Rushia: .. 2/27/2018 2:09:31 PM
  • Rushia: . 2/27/2018 2:09:32 PM
  • Rushia: . 2/27/2018 2:09:32 PM
  • Rushia: . 2/27/2018 2:09:32 PM
  • Rushia: . 2/27/2018 2:09:32 PM
  • Rushia: . 2/27/2018 2:09:33 PM
  • Rushia: . 2/27/2018 2:09:33 PM
  • Rushia: . 2/27/2018 2:09:33 PM
  • Rushia: . 2/27/2018 2:09:34 PM
  • ๖ۣۜBossღ: c 3/2/2018 9:20:18 PM
  • nguoidensau2k2: hello 4/21/2018 7:46:14 PM
  • ☼SunShine❤️: Vẫn vậy <3 7/31/2018 8:38:39 AM
  • ☼SunShine❤️: Bên này text chữ vẫn đẹp nhất <3 7/31/2018 8:38:52 AM
  • ☼SunShine❤️: @@ lại càng đẹp <3 7/31/2018 8:38:59 AM
  • ☼SunShine❤️: Hạnh phúc thế sad mấy câu hỏi vớ vẩn hồi trẩu vẫn hơn 1k xem 7/31/2018 8:41:00 AM
  • tuyencr123: vdfvvd 3/6/2019 9:30:53 PM
  • tuyencr123: dv 3/6/2019 9:30:53 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:30:54 PM
  • tuyencr123: dv 3/6/2019 9:30:54 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:30:54 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:30:55 PM
  • tuyencr123: đ 3/6/2019 9:30:55 PM
  • tuyencr123: đ 3/6/2019 9:30:56 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:30:56 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:30:56 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:30:56 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:30:56 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:30:56 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:30:57 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:30:57 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:30:57 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:30:57 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:30:57 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:30:58 PM
  • tuyencr123: đ 3/6/2019 9:30:58 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:30:58 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:30:58 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:30:59 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:30:59 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:30:59 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:30:59 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:30:59 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:31:00 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:31:00 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:31:00 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:31:00 PM
  • tuyencr123: đ 3/6/2019 9:31:01 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:31:01 PM
  • tuyencr123: đ 3/6/2019 9:31:01 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:31:02 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:31:02 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:31:02 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:31:02 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:31:02 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:31:03 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:31:03 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:31:03 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:31:03 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:31:04 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:31:04 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:31:04 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:31:04 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:31:05 PM
  • tuyencr123: đ 3/6/2019 9:31:05 PM
  • tuyencr123: bb 3/6/2019 9:31:06 PM
  • tuyencr123: b 3/6/2019 9:31:06 PM
  • tuyencr123: b 3/6/2019 9:31:06 PM
  • tuyencr123: b 3/6/2019 9:31:07 PM
  • tuyencr123: b 3/6/2019 9:31:38 PM
  • Tríp Bô Hắc: cho hỏi lúc đăng câu hỏi em có thấy dòng cuối là tabs vậy ghi gì vào tabs vậy ạ 7/15/2019 7:36:37 PM
  • khanhhuyen2492006: hi 3/19/2020 7:33:03 PM
  • ngoduchien36: hdbnwsbdniqwjagvb 11/17/2020 2:36:40 PM
  • tongthiminhhangbg: hello 6/13/2021 2:22:13 PM
Đăng nhập để chém gió cùng mọi người
  • hoàng anh thọ
  • Thu Hằng
  • Xusint
  • HọcTạiNhà
  • lilluv6969
  • ductoan933
  • Tiến Thực
  • my96thaibinh
  • 01668256114abc
  • Love_Chishikitori
  • meocon_loveky
  • gaprodianguc95
  • smallhouse253
  • hangnguyen.hn95.hn
  • nguyencongtrung9744
  • tart
  • kto138
  • dphonglkbq
  • ๖ۣۜPXM๖ۣۜMinh4212♓
  • huyhieu10.11.1999
  • phungduyen1403
  • lalinky.ltml1212
  • trananhvan12315
  • linh31485
  • thananh133
  • Confusion
  • Hàn Thiên Dii
  • •♥•.¸¸.•♥•Furin•♥•.¸¸.•♥•
  • dinhtuyetanh000
  • LeQuynh
  • tuanmotrach
  • bac1024578
  • truonglinhyentrung
  • Lê Giang
  • Levanbin147896325
  • anhquynhthivu
  • thuphuong30012003