giải phương trình lôga

Question

Cho tam giác

$ABC$ thỏa mãn hệ thức:

$cos\frac{A}{2}\sqrt {cos\frac{B}{2}cos\frac{C}{2}} = \frac{{4\sqrt 3 }}{9}$
Tìm dạng của tam giác

$ABC$

score 7 · Answer 1

Do

$c{\rm{os}}\frac{A}{2} > 0,c{\rm{os}}\frac{B}{2} > 0,c{\rm{os}}\frac{C}{2} > 0$ ,nên đưa hệ thức đã cho vè dạng sau :

$c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\frac{A}{2}c{\rm{os}}\frac{B}{2}c{\rm{os}}\frac{C}{2} = \frac{{16}}{{27}} (1)$
Ta có :

$c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\frac{A}{2}c{\rm{os}}\frac{B}{2}c{\rm{os}}\frac{C}{2} = \frac{1}{2}c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\frac{A}{2}\left[ {c{\rm{os}}\frac{{B + C}}{2} + c{\rm{os}}\frac{{B - C}}{2}} \right]$
Vì thế :

$c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\frac{A}{2}c{\rm{os}}\frac{B}{2}c{\rm{os}}\frac{C}{2} \le \frac{1}{2}c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\frac{A}{2}(1 + \sin \frac{A}{2})$

$\Leftrightarrow c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\frac{A}{2}c{\rm{os}}\frac{B}{2}c{\rm{os}}\frac{C}{2} \le \frac{1}{4}(1 + \sin \frac{A}{2})(1 + \sin \frac{A}{2})(2 - 2\sin \frac{A}{2}) (2)$
Dấu “

$=$ ” trong

$(2)$ xảy ra khi

$B=C$
Áp dụng bất đẳng thức COSI,ta có :

$(1 + \sin \frac{A}{2})(1 + \sin \frac{A}{2})(2 - 2\sin \frac{A}{2}) \le {\left[ {\frac{{(1 + \sin \frac{A}{2})(1 + \sin \frac{A}{2}) + (2 - 2\sin \frac{A}{2})}}{3}} \right]^3}$

$\Rightarrow {(1 + \sin \frac{A}{2})^2}(2 - 2\sin \frac{A}{2}) \le \frac{{64}}{{27}} (3)$
Dấu “

$=$ ” trong

$(3)$ xảy ra khi

$1 + \sin \frac{A}{2} = 2 - 2\sin \frac{A}{2} \Leftrightarrow \sin \frac{A}{2} = \frac{1}{3} \Leftrightarrow A = 2\arcsin \frac{1}{3}$
Từ

$(2)(3)$ ta có :

$c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\frac{A}{2}c{\rm{os}}\frac{B}{2}c{\rm{os}}\frac{C}{2} \le \frac{{16}}{{27}}$
Dấu ‘

$=$ ” xảy ra khi

$B=C,A = 2\arcsin \frac{1}{3}$
Vậy tam giác

$ABC$ là tam giác cân đỉnh

$A$ ,

$A = 2\arcsin \frac{1}{3}$
Nhận xét :
Ta có bài toán tương tự sau:

$1/$ Cho tam giác

$ABC$ thỏa mãn hệ thức sau:

$\sin \frac{A}{2}\sqrt {\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}} = \frac{{\sqrt 6 }}{9}$
Tìm dạng của tam giác này
Ta có thể viết hệ thức đã cho dưới dạng tương đương sau:

${\sin ^2}\frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2} = \frac{2}{{27}}$
Ta có :

${\sin ^2}\frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2} = \frac{1}{2}{\sin ^2}\frac{A}{2}\left[ {c{\rm{os}}\frac{{B - C}}{2} - c{\rm{os}}\frac{{B + C}}{2}} \right]$

$\Leftrightarrow {\sin ^2}\frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2} \le \frac{1}{2}{\sin ^2}\frac{A}{2}(1 - \sin \frac{A}{2}) (6)$
Dấu “

$=$ ” xảy ra khi

$B=C$
Lại có

$\frac{1}{2}{\sin ^2}\frac{A}{2}(1 - \sin \frac{A}{2}) - 2\frac{{\sin \frac{A}{2}}}{2}\frac{{\sin \frac{A}{2}}}{2}(1 - \sin \frac{A}{2})$
Áp dụng bất đẳng thức COSI,ta có :

$\frac{{\sin \frac{A}{2}}}{2}\frac{{\sin \frac{A}{2}}}{2}(1 - \sin \frac{A}{2}) \le {\left[ {\frac{{\frac{{\sin \frac{A}{2}}}{2}\frac{{\sin \frac{A}{2}}}{2}(1 - \sin \frac{A}{2})}}{3}} \right]^3}$

$\Rightarrow \frac{{{{\sin }^2}\frac{A}{2}}}{4}(1 - \sin \frac{A}{2}) \le \frac{1}{{27}} (7)$
Dấu “

$=$ ” trong

$(7$ ) xảy ra khi

$\frac{{\sin \frac{A}{2}}}{2} = 1 - \sin \frac{A}{2} \Leftrightarrow \sin \frac{A}{2} = \frac{2}{3} \Leftrightarrow A = 2\arcsin \frac{2}{2}$
Từ

$(6)(7)$ suy ra

${\sin ^2}\frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2} \le \frac{2}{{27}} (8)$
Dấu “

$=$ ” trong

$(8)$ xảy ra khi có dấu “

$=$ ” trong

$(6$ ) và (

$7$ ),tức

$B=C$ và

$A = 2\arcsin \frac{2}{3}$
Vậy tam giác

$ABC$ là tam giác cân đỉnh

$A$ ,với

$A = 2\arcsin \frac{2}{3}$

$2/$ Cho tam giác

$ABC$ thỏa mãn hệ thức

$\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sqrt {\sin \frac{C}{2}} = \frac{{2\sqrt 3 }}{9}$
Tìm dạng của tam giác này
Ta có

$\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sqrt {\sin \frac{C}{2}} \le \frac{1}{2}(c{\rm{os}}\frac{{A - B}}{2} - c{\rm{os}}\frac{{A + B}}{2})\sqrt {\sin \frac{C}{2}}$

$\Rightarrow \sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sqrt {\sin \frac{C}{2}} \le \frac{1}{2}(1 - \sin \frac{C}{2})\sqrt {\sin \frac{C}{2}} (9)$
Dấu “

$=$ ” xảy ra khi

$A=B$
Ta có

${(1 - \sin \frac{C}{2})^2}\sin \frac{C}{2} = \frac{1}{2}(1 - \sin \frac{C}{2})(1 - \sin \frac{C}{2})(2\sin \frac{C}{2})$
Theo bất đẳng thức COSI ,ta có

$(1 - \sin \frac{C}{2})(1 - \sin \frac{C}{2})(2\sin \frac{C}{2}) \le {\left[ {\frac{{(1 - \sin \frac{C}{2}) + (1 - \sin \frac{C}{2}) + 2\sin \frac{C}{2}}}{3}} \right]^3}$
Normal 0 false false false EN-US X-NONE X-NONE MicrosoftInternetExplorer4

$\begin{array}{l} \Rightarrow 2(1 - \sin \frac{C}{2})(1 - \sin \frac{C}{2})\sin \frac{C}{2} \le \frac{{64}}{{27}}\\ \Rightarrow {(1 - \sin \frac{C}{2})^2}\sin \frac{C}{2} \le \frac{{32}}{{27}} \end{array}$

$\Leftrightarrow (1 - \sin \frac{C}{2})\sqrt {\sin \frac{C}{2}} \le \frac{{4\sqrt 6 }}{9} (10)$
Dấu “

$=$ ” trong (

$10$ ) xảy ra khi

$1 - \sin \frac{C}{2} = 2\sin \frac{C}{2} \Leftrightarrow \sin \frac{C}{2} = \frac{1}{3} \Rightarrow C = 2\arcsin \frac{1}{3}$

Từ

$(9)(10)$ ta có

$\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sqrt {\sin \frac{C}{2}} \le \frac{{2\sqrt 3 }}{9} (11)$
Dấu “

$=$ ” trong (

$11$ ) xảy ra khi có dấu “

$=$ ” trong

$(9) (10)$ ,tức

$A = B,C = 2a\arcsin \frac{1}{3}$
Vậy tam giác

$ABC$ là tam giác cân đỉnh

$C$ với

$C = 2\arcsin \frac{1}{3}$

$3/$ Cho tam giác

$ABC$ thỏa mãn hệ thức

$\sin A\sqrt {\sin B\sin C} = \frac{{4\sqrt 3 }}{9}$
Tìn dạng của tam giác này
Đưa hệ thức về dạng tương đương sau

${\sin ^2}A\sin B\sin C = \frac{{16}}{{27}} (12)$
Ta có

${\sin ^2}A\sin B\sin C = \frac{1}{2}{\sin ^2}A\left[ {c{\rm{os}}(B - C) - c{\rm{os}}(B + C)} \right]$

$\le \frac{1}{2}{\sin ^2}A(1 + \cos A)$

$\Rightarrow {\sin ^2}A\sin B\sin C \le \frac{1}{2}(1 + \cos A)(1 - \cos A)$

$\Rightarrow {\sin ^2}A\sin B\sin C \le \frac{1}{4}(1 + \cos A)(1 + \cos A)(2 - 2\cos A) (13)$
Dấu “

$=$ ” xảy ra khi

$B=C$
Theo bất đẳng thức COSI, ta có

$(1 + \cos A)(1 + \cos A)(2 - \cos A) \le \left[ {\frac{{(1 + \cos A) + (1 + \cos A) + (2 - 2\cos A)}}{3}} \right]$

$\Rightarrow {(1 + \cos A)^2}(2 - 2\cos A) \le \frac{{64}}{{27}} (14)$
Dấu “

$=$ ” trong (14) xay ra khi

$1 + \cos A = 2 - 2\cos A \Rightarrow \cos A = \frac{1}{3} \Leftrightarrow A = \arccos \frac{1}{3}$
Từ dó ta có

${\sin ^2}A\sin B\sin C \le \frac{{16}}{{27}} (15)$
Dâu “

$=$ ” trong (

$15$ ) xảy ra khi có dấu ‘=” trong (13)(14), tức

$B = C,A = \arccos \frac{1}{3}$
Từ (

$12$ ) suy ra trong (

$15$ ) có dấu “

$=$ ”.Vậy tam giác

$ABC$ cân tại

$A$ và

$A = \arccos \frac{1}{3}$

đáp án của bạn rất bổ ích !vote cho bạn.thanks

Hỏi	27-06-12 09:19 PM
Lượt xem	2810
Hoạt động	20-07-16 01:57 PM

giải phương trình lôga

1 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

giải phương trình lôga

1 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Liên quan