Chứng minh BĐT

Question

Cho $a,b.c >0$ và có $abc=1$. Chứng minh:
$\frac{ab}{a^{5}+b^{5}+ab}+\frac{bc}{b^{5}+c^{5}+bc}+\frac{ca}{c^{5}+a^{5}+ca}\leq 1$

score 5 · Answer 1

Ta có:

a5+b5=(a+b)(a4−a3b+a2b2−ab3+b4)

=(a+b)[a2b2+a3(a−b)−b3(a−b)]

=(a+b)[a2b2+(a−b)(a3−b3)]

=(a+b)[a2b2+(a−b)2(a2+ab+b2)]≥(a+b)a2b2
Nên:

aba5+b5+ab≤aba2b2(a+b)+ab=1ab(a+b)+1=1ab(a+b)+abc

=1ab(a+b+c)=ca+b+c.
Tương tự:

bcb5+c5+bc≤aa+b+c;

cac5+a5+ca≤ba+b+c
Cộng 3 bất đẳng thức có điều phải chứng minh.

uh, cơ bản – babylionneu 05-11-12 09:03 PM

Bài này cơ bản đấy – Administrator 13-06-12 05:39 PM

Bài này khó mà bạn – Robinhood 13-06-12 05:14 PM

bài này thú vị đấy.:d – tathuynga2601 13-06-12 05:09 PM

score 9 · Answer 2

Ta có $(a^3-b^3)(a^2-b^2)\geq 0\Rightarrow a^5+b^5\geq a^2b^2(a+b)$

$\Rightarrow \frac{ab}{a^5+b^5+ab}\leq \frac{ab}{a^2b^2(a+b)+ab}\times \frac{c^2}{c^2}\leq \frac{c}{a+b+c}$ ( vì abc=1)

Tương tự :$\frac{bc}{b^5+c^5+bc}\leq \frac{bc}{b^2c^2(b+c)+bc}\times \frac{a^2}{a^2}\leq \frac{a}{a+b+c}$

$\frac{ac}{a^5+c^5+ca}\leq \frac{ca}{c^2a^2(a+c)+ac}\times \frac{c^2}{c^2}\leq \frac{b}{a+b+c}$

Cộng 3 BĐT trên lại theo từng vế ta => ĐPCM

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1

2 Đáp án