THU

Trên bìa rừng, có con cọp cắn con cọp con, con của con cọp cạnh con cọp cha của con cọp có con cắn con cọp con của con con cọp cạnh con cọp cha con cọp cắn con cọp con. Hỏi có bao nhiêu con cọp ở đó?

Vì $\alpha, \beta, \gamma$ là ba góc của một tam giác nên ta có:
                                         $\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma \neq  0$
Nhân hai vế của bất đẳng thức ở đề bài cho $ \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma $ ta được:
                           $\sin \alpha \cos \alpha +\sin \beta \cos \beta +\sin \gamma \cos \gamma =2\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma .$
Áp dụng công thức $\sin 2 \alpha =2 \sin \alpha  \cos \alpha $ để biến đổi, ta được
                           $\sin 2 \alpha +\sin 2 \beta +2 \sin \gamma \cos \gamma =4 \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma .$
Với chú ý rằng $\alpha + \beta+\gamma=180^\circ $.
Ta có : $\sin 2 \alpha +\sin 2 \beta +2 \sin \gamma \cos \gamma =2\sin (\alpha+ \beta)\cos (\alpha - \beta)-2\sin \gamma\cos (\alpha+ \beta)$
                                                                        $=2\sin \gamma\cos (\alpha - \beta)-2\sin \gamma\cos (\alpha+ \beta)$
                                                                        $=2\sin \gamma \left ( \cos (\alpha - \beta)- \cos (\alpha+ \beta)\right )$
                                                                        $=4 \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma$ (đpcm).

Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ có góc $B=72^0$. Hãy tính $\cos A$ mà không dùng bảng lượng giác.

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Điều kiện:
$(m+1)x^2-2(m-1)x+2m-1>0(*)           \forall x\in R     (1)$
Ta có:
+)$m =  - 1\Rightarrow (*)\Leftrightarrow 4x-3>0\Leftrightarrow x>\frac{3}{4}$ không thỏa mãn với mọi $x\in R.$
+)$m\neq 1$
$\Rightarrow (1)\Leftrightarrow \begin{cases}m+1>0\\ \triangle '<0 \end{cases}$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m>-1\\(m-1)^2-(m+1)(2m-1)<0\end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m>-1\\m^2+3m-2>0 \end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m>-1\\ \left[ \begin{array}{l}m<\frac{-3-\sqrt{17}}{2} \\ \frac{-3+\sqrt{17}}{2}< m\end{array} \right. \end{array} \right.$
$\Rightarrow  m>\frac{-3+\sqrt{17}}{2} $

Vậy với $m>\frac{-3+\sqrt{17}}{2}$ thì thỏa mãn đề bài.

a.

$Q\in Ox\Rightarrow Q(x;0)$
$|QA-QB|\leq AB$. Vậy $|QA-QB|$ đạt giá trị lớn nhất
$\Leftrightarrow$ đẳng thức xảy ra
$\Leftrightarrow Q, A, B$ thẳng hàng
$\Leftrightarrow \overrightarrow{QA} $ cùng phương $\overrightarrow{AB} $ với \(\left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow{QA}=(1-x;2) \\ \overrightarrow{AB}=(2;2)  \end{array} \right. \)
$\Leftrightarrow \frac{1-x}{2}=\frac{2}{2}\Leftrightarrow x=-1  $
Vậy: $Q(-1;0) \in Ox$ thì $|QA-QB|$ đạt giá trị lớn nhất.
b.

Gọi $A'$ là điểm đối xứng của $A$ qua $Ox \Rightarrow A'(1;-2)$
Vì $P\in Ox$ nên $PA=PA'$$\Rightarrow PA+PB=PA'+PB\geq A'B(*)$
Ta có: $PA+PB$ đạt giá trị nhỏ nhất.
$\Leftrightarrow PA'+PB$ đạt  giá trị nhỏ nhất
$\Leftrightarrow $ Đẳng thức (*) xảy ra
$PA'+PB=A'B\Leftrightarrow P, A', B$ thẳng hàng
$\overrightarrow{PA'}$ cùng phương $\overrightarrow{A'B}  $ với $P(x; 0), \overrightarrow{PA'}=(1-x;-2), \overrightarrow{A'B}=(2;6)$
  $\Leftrightarrow \frac{1-x}{2}=\frac{-2}{6}\Leftrightarrow x=\frac{5}{3} $
Vậy: $P(\frac{5}{3};0)$ thì $PA+PB$ đạt giá trị nhỏ nhất. 

Vì \(A \in d_{1}\Rightarrow A(t;t).\)
Vì A và C đối xứng nhau qua BD và B, D \(\in  Ox \) nên $C(t;-t)$.
Vì \(C\in d_{2}\) nên \(2t-t-1=0\Leftrightarrow  t=1.\) Vậy $A(1;1), C(1;-1)$.
Trung điểm của $AC$ là $ I(1;0)$. Vì I là tâm của hình vuông nên
\(\left\{ \begin{array}{l} IB=IA=1\\ ID=IA=1 \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array}{l} B\in Ox\\ D\in Ox \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} B(b;0)\\ D(d;0) \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} |b-1|=1\\ |d-1|=1 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l}b=0\\ b=2\end{array} \right.\\ \left[ \begin{array}{l} d=0\\d=2\end{array} \right. \end{array} \right.\)
Suy ra $B(0;0)$ và $D(2;0)$ hoặc $B(2;0)$ và $D(0;0)$.
Vậy bốn đỉnh của hình vuông là: $\boxed{A(1;1), B(0;0), C(1;-1), D(2;0)}$
hoặc $\boxed{A(1;1), B(2;0), C(1;-1), D(0;0)} $.

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Gọi $K(a;b)$ ; \(
K \in (C) \Leftrightarrow (a-2)^2+b^2=\frac{4}{5}        (1)\)
\((C_{1})\) tiếp xúc \(
\triangle _{1}, \triangle _{2}\Leftrightarrow  \text{d}\left ( K, \triangle _{1}\right )=\text{d}\left ( K, \triangle _{2}\right )\Leftrightarrow\frac{\mathrm|{a}- b|}{\mathrm{\sqrt{2}} }\) = \(\frac{\mathrm|{a}- 7b|}{\mathrm{5\sqrt{2}} }                 (2)\)      
$(1)$ và $(2)$ cho ta: \(
\left\{ \begin{array}{l} 5(a-2)^2+5b^2=4\\ 5|a-b|=|a-7b| \end{array} \right.
\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 5(a-2)^2+5b^2=4\\\ 5(a-b)=a-7b \end{array} \right.  (I)\) hoặc \( \left\{ \begin{array}{l} 5(a-2)^2+5b^2=4\\\ 5(a-b)=7b-a \end{array} \right.  (II)\)

(I)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 25a^2-20a+16=0\\ b=-2a\end{array} \right.\) vô nghiệm;
(II)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a=2b\\ 25b^2-40b+16=0\end{array} \right.\)\(\Leftrightarrow (a;b)=\left (\frac{8}{5} :\frac{4}{5}\right )
\)
Bán kính \(
(C_{1}); R=\frac{\mathrm{|a-} b|}{\mathrm{\sqrt{2}} }=\frac{\mathrm{2} \sqrt{2}}{\mathrm{5} }\). Vậy \(K=\left (\frac{8}{5} :\frac{4}{5}\right )\) và \(R=\frac{\mathrm{2} \sqrt{2}}{\mathrm{5} }\).