Đầu tiên, rõ ràng ta có $(ABCD)\cap (A'CD)=CD$.
Gải sử mặt phẳng $(A'CD)$ cắt các cạnh $SA, SB, SC, SD$ lần lượt tại $A', B', C', D'$. Gọi $I$ là giao điểm của hai đường thẳng $SO$ và $CA'$. Do $SO$ nằm trong mp$(SDB)$ và $(CA')$ nằm trong mp$(A'CD)$ nên $I$ là điểm chung của hai mặt phẳng $(SDB)$ và $(A'CD)$. Cũng dễ thấy $B'$ là điểm chung của mặt phẳng này.
Vậy $D, I,B'$ thẳng hàng, vì chúng thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng $(SDB)$ và $(A'CD)$. Suy ra rằng điểm $B'$ là giao điểm của đường thẳng $DI$ với cạnh bên $SB$ của hình chóp $S.ABCD$.
Từ đó ta tìm được các giao tuyến của các mặt còn lại của hình chóp và mp$(A'CD)$:
$(SAB)\cap (A'CD)=A'B';$
$(SBC)\cap (A'CD)=CB';$
$(SCD)\cap (A'CD)=CD$;
$(SDA)\cap (A'CD)=DA'.$

Lấy hai điểm bất kì $M=(x_{1}; y_{1})$ và $N=(x_{2}; y_{2} )$ thì ảnh của chúng qua $f$ lần lượt là $M'=(y_{1};- x_{1})$ và $N'=( y_{2};- x_{2})$. Từ công thức tính khoảng cách ta có:
$MN=\sqrt{(x_{1}-x_{2})^2+(y_{1}-y_{2})^2}$  và
$M'N'=\sqrt{(y_{1}-y_{2})^2+(-x_{1}+x_{2})^2}.$
Suy ra $M'N'=MN$. Vậy $f$ là phép dời hình.

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Cho hai nửa đường thẳng chéo nhau $Ax$ và $By$. Các điểm $M$ và $N$ lần lượt di động trên $Ax$ và $By$ sao cho $AM:BN=k$, trong đó $k$ là số khác $0$ cho trước. Tìm tập hợp các điểm $I$ thuộc đoạn $MN$ sao cho $IM:IN=k.$

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Vì $a \ge 1$ nên hàm số xác định với mọi $y = m$ và $y \ge 0$, do đó xét
$z = {y^2} = 2a + c{\rm{osx + sinx + 2}}\sqrt {{{\rm{a}}^{\rm{2}}} + a(c{\rm{osx + sinx}}) + c{\rm{osxsinx}}}$
Đặt $t = c{\rm{osx + sinx, }}\left| {\rm{t}} \right| \le \sqrt {\rm{2}}$ ta có
$cosxsinx  =  ({{\rm{t}}^{\rm{2}}}{\rm{ - 1)/2   và   z  =  2a  +  t  +  }}\sqrt {\rm{2}} \sqrt {{{(t + a)}^2} + {a^2} - 1}$.
a)    Nếu $a = 1 =  > z = 2 + t + \sqrt 2 \left| {t + 1} \right| =  > \min z = 1 =  > \min y = 1$, đạt được khi $t =  - 1$.
b)    Nếu $a > 1 =  > z$ có đạo hàm với mọi $t$:
$z' = 1 + \frac{{\sqrt 2 (t + a)}}{{\sqrt {{{(t + a)}^2} + {a^2} - 1} }}$
i)    $t + a \ge 0 \Leftrightarrow t \ge  - a:z' > 0$
ii)    $t + a < 0 \Leftrightarrow t <  - a:$
$z' = 0 \Leftrightarrow \sqrt {{{(t + a)}^2} + {a^2} - 1}  =  - \sqrt 2 (t + a)$
${\left( {t + a} \right)^2} = {a^2} - 1 \Leftrightarrow  - a + \sqrt {{a^2} - 1}$ (loại),
$t =  - a - \sqrt {{a^2} - 1}$
Ta có bảng biến thiên của $z$
Lưu ý rằng:  $- a + \sqrt {{a^2} - 1}  \le  - \sqrt 2  \Leftrightarrow a \ge 3\sqrt 2 /4$
Từ bảng biến thiên ta có kết quả
* $a \ge 3\sqrt 2 /4$
$\mathop {\min }\limits_{\left| t \right| \le \sqrt 2 } {y^2} = z( - a + \sqrt {{a^2} - 1} ) = a + \sqrt {{a^2} - 1}$
$\Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left| t \right| \le \sqrt 2 } y = \sqrt {a + \sqrt {{a^2} - 1} }$