Đặt x=a+b,y=b+c,z=c+a thì ta có xyz=1 và
a=z+x−y2,b=x+y−z2,c=y+z−x2.
Bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại như sau
z+x−y2.x+y−z2+x+y−z2.y+z−x2+y+z−x2.z+x−y2≤34
Sau khi thu gọn, ta được
x2+y2+z2+3≥2(xy+yz+zx),
hay là
x2+y2+z2+2xyz+1≥2(xy+yz+zx).
Suy ra điều phải chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=12
Đặt x=a+b,y=b+c,z=c+a thì ta có xyz=1 và
a=z+x−y2,b=x+y−z2,c=y+z−x2.
Bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại như sau
z+x−y2.x+y−z2+x+y−z2.y+z−x2+y+z−x2.z+x−y2≤34
Sau khi thu gọn, ta được
x2+y2+z2+3≥2(xy+yz+zx),
hay là
x2+y2+z2+2xyz+1≥2(xy+yz+zx).
Đây chính là bất đẳng thức nên ta có điều phải chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=12