Ta có $a^2+1\geqslant 2a  ;  b^2+1\geqslant 2b  ; c^2+1 \geqslant 2c==>a^2+b^2+ c^2+3\geqslant 2(a+b+c)$
$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\geqslant (a+b+c)+(a+b+c)-3\geqslant a+b+c  (vì   abc=1)(  _*)$
ta có $P=\frac{a}{1+b+c}+\frac{b}{1+a+c}+\frac{c}{1+a+b}$$=\frac{a^2}{a+ab+ac}+\frac{b^2}{b+ab+bc}+\frac{c^2}{c+ac+bc}$
$==>[(a+ab+ac)+(b+ab+bc)+(c+ac+bc)]P\geqslant (a+b+c)^2$
$==>P\geqslant \frac{(a+b+c)^2}{a+b+c+2ab+2bc+2ac}\geqslant \frac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac}=1$
                                                                                                       $(vì  a+b+c\leqslant a^2+b^2+c^2)$ Theo(*)
$"="\Leftrightarrow a=b=c=1$

$I(2;0)     H(4;2)         D(12;-2)$
$d:  2x-y-4=0     I\in d\rightarrow J\in d$ với $J$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $BCH$
$\rightarrow J=d\cap\Delta$ với $\Delta$ là trung trực của $HD$    nhưng $\Delta//d$ nên ĐỀ SAI

Gọi $B(a;1-a;a)\in d_1  ; C(b+1;b;b)\in d_2   A(1;2;0)$
$\Rightarrow \overrightarrow{AB}(a-1;-a-1;a)      ; \overrightarrow{AC}(b;b-2;b)$
Giả sử $\Delta\cap d_1=B   \Delta\cap d_2=C$
$\rightarrow \overrightarrow{AB}=k.\overrightarrow{AC}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a-1=kb\\ -a-1=kb-2k;a=kb \end{array} \right.$  Vô nghiệm

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết