Từ điều kiện đã cho có thể đặt $x=\sin a,y=\cos a$
$\Rightarrow P=\frac{\sin a}{\sqrt{1+\cos a}}+\frac{\cos a}{\sqrt{1+\sin a}}$
Chú ý $\cos a\ne -1\Leftrightarrow \cos \frac a2\ne0$Và ta có thể đặt $t=\tan \frac a2 (t \ne -1)$
Sử dụng công thức $\sin a=\frac{2t}{1+t^2},\cos a=\frac{1-t^2}{1+t^2}$
$\Rightarrow P=\frac{\sqrt2t}{\sqrt{{t^2+1}}}+\frac{(1-t)(1+t)}{|1+t|\sqrt{t^2+1}}$
Nếu $t+1 >0$ thì $P=f(t)=\frac{t(\sqrt 2-1)+t}{\sqrt{t^2+1}}$
Xét hàm số $f(t)$ trên $(1;+\infty)$ ta thu được $\max f(t)=\sqrt{4-2\sqrt 2}\Leftrightarrow x=y=\frac{\sqrt 2}{2}$
Nếu $t+1<0$ xét tương tự thu được $\min f(t)=-\sqrt{4+2\sqrt 2}\Leftrightarrow x=y=-\frac{\sqrt 2}{2}$