x+\sqrt{xy}+\sqrt[3]{xyz}\leqk.(x+y+z)\leftrightarrow6\sqrt{xy}+6.\sqrt[3]{xyz}\leq(6k-6)x+6ky+6kz.(1)
Áp dụng BĐT Cauchy ta có:
6.\sqrt{xy}=3.\sqrt{x.4y}\leq\frac{3}{2}.x+6y.
6.\sqrt[3]{xyz}\leq\frac{x}{2}+2y+8z.
Cộng vế vs vế ta có:6.\sqrt{xy}+6.\sqrt[3]{xyz}\leq2x+8y+8z(2).
Từ (1) và(2) --> k nhỏ nhất \leftrightarrow\begin{cases}6k-6=2 \\ 6k=8 \end{cases}\leftrightarrowk=\frac{4}{3}