Đặt $a=x-1,b=y-1,c=z-1$ ta có $-1\leq a,b,c\leq1$ và $a+b+c=0$.Khi đó:$M=a^{4}+b^{4}+c^{4}+4.(a^{3}+b^{3}+c^{3})+6.(a^{2}+b^{2}+c^{2})+4.(a+b+c)+3-12abc$.
Vì $a+b+c=0$ nên $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)=0$.
-->$M=a^{4}+b^{4}+c^{4}+6.(a^{2}+b^{2}+c^{2})+3\geq 3$