|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
đặt câu hỏi
|
Đơn giản lm =)) Cơ mà mk ngu lm nên k pit giải => AI giúp đuy ạ
|
|
|
|
Cho bộ số : $x_{1} ; x_{2} ; ...; x_{n-1} x_{n} + x_{n} x_{1} $
CÓ S= $x_{1} + x_{2} + ...+ x_{n} $
Có tổng : $x_{1} x_{2} + x_{2} x_{3} + ... + x_{n-1} x_{n} + x_{n} x_{1} = 1 $
CMR :$ \frac{{x_{1}}^{2}}{S-x_{1}} + \frac{x^{2}_{2}}{S-x_{2}} + ...+ \frac{x^{2}_{n}}{S-x_{n}} \geq \frac{1}{n-1} $
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sửa đổi
|
đừng dùng cauchy-schwarz. dùng cô-si cho mình xem thử
|
|
|
|
=> P = $ \frac{\frac{1}{a^{2}}}{\frac{1}{b} + \frac{1}{c}}$ + $ \frac{\frac{1}{b^{2}}}{\frac{1}{a}+ \frac{1}{c} }$ + $ \frac{\frac{1}{c^{2}}}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}$ Đặt : \begin{cases}x= \frac{1}{a} \\ y=\frac{1}{b} => xyz=1 => P = \frac{x^{2}}{y+z} + \frac{y^{2}}{z+x} + \frac{z^{2}}{x+y}\\z= \frac{1}{c} \end{cases}Áp dụng BĐT Cô-si : $\frac{x^{2}}{y+z}$ + $\frac{y+z}{4}$ $\geq$ x=> Tương tự : $\frac{y^{2}}{z+x}$ + $ \frac{z+x}{4}$ $\geq $ y ; $ \frac{z^{2}}{x+y}$ + $ \frac{x+y}{4}$ $\geq $ zTừ đó => P = $\frac{x^{2}}{y+z}$ + $\frac{y^{2}}{z+x}$ +$\frac{z^{2}}{x+y}$ $\geq $ $\frac{x+y+z}{2}$ $\geq $ $\frac{3\sqrt[3]{xyz} }{2}$ = $\frac{3}{2}$Dâu "=" xảy ra <=> x=y=z <=> a=b=c=1 Vậy Min P = $\frac{3}{2} khi a=b=c=1
=> P = $ \frac{\frac{1}{a^{2}}}{\frac{1}{b} + \frac{1}{c}}$ + $ \frac{\frac{1}{b^{2}}}{\frac{1}{a}+ \frac{1}{c} }$ + $ \frac{\frac{1}{c^{2}}}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}$ Đặt : \begin{cases}x= \frac{1}{a} \\ y=\frac{1}{b} => xyz=1 => P = \frac{x^{2}}{y+z} + \frac{y^{2}}{z+x} + \frac{z^{2}}{x+y}\\z= \frac{1}{c} \end{cases}Áp dụng BĐT Cô-si : $\frac{x^{2}}{y+z}$ + $\frac{y+z}{4}$ $\geq$ x=> Tương tự : $\frac{y^{2}}{z+x}$ + $ \frac{z+x}{4}$ $\geq $ y ; $ \frac{z^{2}}{x+y}$ + $ \frac{x+y}{4}$ $\geq $ zTừ đó => P = $\frac{x^{2}}{y+z}$ + $\frac{y^{2}}{z+x}$ +$\frac{z^{2}}{x+y}$ $\geq $ $\frac{x+y+z}{2}$ $\geq $ $\frac{3\sqrt[3]{xyz} }{2}$ = $\frac{3}{2}$Dâu "=" xảy ra <=> x=y=z <=> a=b=c=1 Vậy Min P = $\frac{3}{2}$ khi a=b=c=1
|
|
|
|
giải đáp
|
đừng dùng cauchy-schwarz. dùng cô-si cho mình xem thử
|
|
|
|
=> P = $ \frac{\frac{1}{a^{2}}}{\frac{1}{b} + \frac{1}{c}}$ + $ \frac{\frac{1}{b^{2}}}{\frac{1}{a}+ \frac{1}{c} }$ + $ \frac{\frac{1}{c^{2}}}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}$
Đặt :
\begin{cases}x= \frac{1}{a} \\ y=\frac{1}{b} => xyz=1 => P = \frac{x^{2}}{y+z} + \frac{y^{2}}{z+x} + \frac{z^{2}}{x+y}\\z= \frac{1}{c} \end{cases}
Áp dụng BĐT Cô-si :
$\frac{x^{2}}{y+z}$ + $\frac{y+z}{4}$ $\geq$ x
=> Tương tự : $\frac{y^{2}}{z+x}$ + $ \frac{z+x}{4}$ $\geq $ y ; $ \frac{z^{2}}{x+y}$ + $ \frac{x+y}{4}$ $\geq $ z
Từ đó => P = $\frac{x^{2}}{y+z}$ + $\frac{y^{2}}{z+x}$ +$\frac{z^{2}}{x+y}$ $\geq $ $\frac{x+y+z}{2}$ $\geq $ $\frac{3\sqrt[3]{xyz} }{2}$ = $\frac{3}{2}$
Dâu "=" xảy ra <=> x=y=z <=> a=b=c=1
Vậy Min P = $\frac{3}{2}$ khi a=b=c=1
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|