Cách 2 : Với mỗi y,z cố định \in [0;1] , xét hàm số biến x : F(x)=\frac{x}{y+z+1}+\frac{y}{z+x+1}+ \frac{z}{x+y+1}+(1-x)(1-y)(1-z) , 0 \leq x \leq 1Có : F'(x)= \frac{1}{y+z+1}-\frac{y}{(z+x+1)^{2}}- \frac{z}{(x+y+1)^{2}}-(1-y)(1-z)=> F''(x)= \frac{2y}{(z+x+1)^{2}}+ \frac{2z}{(x+y+1)^{2}} \geq 0 (do y,z >=0 )=> F''(x) là hàm đồng biến khi o \leq x\leq 1=> 3 TH : TH 1 : Nếu F'(x) >=0 \forall 0\leq x \leq 1 . Khi đó F(x) là hàm đồng biến trên 0 \leq x \leq 1 , => \forall 0\leq x \leq 1 , ta có : F(x) \leq F(1) = \frac{1}{y+z+1}+ \frac{y}{z+1+1}+ \frac{z}{1+y+1} \leq \frac{1+y+z}{y+z+1}=1 ( do y \leq 1; z \leq 1)TH2 : Nếu F'(x) \leq 0 \forall 0\leq x\leq 1 Khi đó F(x) là hàm nb trên 0= Ta có : F(x) \leq F(0) =\frac{y}{z+1}+ \frac{z}{y+1}+(1-y)(1-z)= \frac{1+y+z+y^{2}z^{2}}{1+y+z+yz}Do : y^{2}z^{2} \leq yz và y,z \in [0;1]=>F(x) \leq 1 \forall x \in [0;1]TH3 : Nếu F'(x) có dấu thay đổi trên [0;1] . Do F'(x) là hàm đb trên [0;1] Và : F(0) \leq 1 ; F(1) \leq 1=> F(x) \leq 1 \forall 0\leq x\leq 1ALL=> luôn có : P \leq 1$Vậy Max P = 1
Cách 2 : Với mỗi y,z cố định \in [0;1] , xét hàm số biến x : F(x)=\frac{x}{y+z+1}+\frac{y}{z+x+1}+ \frac{z}{x+y+1}+(1-x)(1-y)(1-z) , 0 \leq x \leq 1Có : F'(x)= \frac{1}{y+z+1}-\frac{y}{(z+x+1)^{2}}- \frac{z}{(x+y+1)^{2}}-(1-y)(1-z)=> F''(x)= \frac{2y}{(z+x+1)^{2}}+ \frac{2z}{(x+y+1)^{2}} \geq 0 (do y,z >=0 )=> F''(x) là hàm đồng biến khi o \leq x\leq 1=> 3 TH : TH 1 : Nếu F'(x) >=0 \forall 0\leq x \leq 1 . Khi đó F(x) là hàm đồng biến trên 0 \leq x \leq 1 , => \forall 0\leq x \leq 1 , ta có : F(x) \leq F(1) = \frac{1}{y+z+1}+ \frac{y}{z+1+1}+ \frac{z}{1+y+1} \leq \frac{1+y+z}{y+z+1}=1 ( do y \leq 1; z \leq 1)TH2 : Nếu F'(x) \leq 0 \forall 0\leq x\leq 1 Khi đó F(x) là hàm nb trên 0= Ta có : F(x) \leq F(0) =\frac{y}{z+1}+ \frac{z}{y+1}+(1-y)(1-z)= \frac{1+y+z+y^{2}z^{2}}{1+y+z+yz}Do : y^{2}z^{2} \leq yz và y,z \in [0;1]=>F(x) \leq 1 \forall x \in [0;1]TH3 : Nếu F'(x) có dấu thay đổi trên [0;1] . Do F'(x) là hàm đb trên [0;1] Và : F(0) \leq 1 ; F(1) \leq 1=> F(x) \leq 1 \forall 0\leq x\leq 1ALL=> luôn có : P \leq 1$Vậy Max P = 1Bài toán tổng quát : Cho 0\leq a_{i} \leq 1 , i=1,2,...,n . Chứng minh rằng : \frac{a_{1}}{S-a_{1}+1}+ \frac{a_{2}}{S-a_{2}+1}+...+ \frac{a_{n}}{S-a_{n}+1}+ (1-a_{1})(1-a_{2})...(1-a_{n}) \leq 1Với : S=a_{1}+a_{2}+...+a_{n}