Vì $a \ge 1$ nên $y=\sqrt{a+cosx}+\sqrt{a+sinx} \ge 0$ với mọi $x \epsilon R$
=> $z=y^2=2a+cosx+sinx+2\sqrt{a^2+a(sinx+cosx+sinxcosx)}$
Đặt $t=sinx+xosx=\sqrt{2}sin(x+\frac{\pi}{4}), |t| \le \sqrt{2}$
=> $t^2=1+2sinxcosx$
<=> $sinxcosx=\frac{t^2-1}{2}$
=> $z=2a+t+\sqrt{2}{\sqrt{(t+a)^2+a^2-1}}$
1) Nếu $a=1$ thì $z=2+t+\sqrt{2.(t+1)^{2}}$ $\ge$ $2+t$
Dấu $"="$ xảy ra khi $t+1=0$ <=> $t=-1$
2) Nếu $a>1$ thì $z'=\frac{1+\sqrt{2}(t+a)}{\sqrt{(t+a)^2+a^2-1}}$ xác định với mọi t
a) $t+a \ge 0$ <=> $t \ge -a$ <=> $z'=0$ vô nghiệm
b) $t+a <0$<=> $t<-a$ <=> $z'=0$
<=> $1+\frac{\sqrt{2}(t+a)}{\sqrt{(t+a)^2+a^2-1}}=0$
<=> $\sqrt{(t+a)^2+a^2-1}=-\sqrt{2}(t+a)$
<=> $(t+a)^2=a^2-1$
<=> $t=-a+\sqrt{a^2-1} >-a$ (loại) hoặc $t=-a-\sqrt{a^2-1}$
+) Giả sử $-a-\sqrt{a^2-1} \le \sqrt{2}$
=> a$ \ge \frac{3\sqrt{2}}{4}$
=> $z' \ge 0 khi t<-\sqrt{2}$, chứng tỏ hàm đồng biến trên [$-\sqrt{2};\sqrt{2}$]
=> $\mathop {min }\limits_{|t| \le \sqrt{2}} z=z(-\sqrt{2})$
=> $\mathop {min }\limits_{|t \le \sqrt{2}} y =y(-\sqrt{2})=\sqrt{4a-2\sqrt{2}}$
+) Giả sử $-\sqrt{2} \le -a-\sqrt{a^2-1} \le \sqrt{2}$
=> $1 \le a \le \frac{3\sqrt{2}}{4}$
Trường hợp này ta có bàng biến thiên:
........................................................
$\mathop {min }\limits_{|t| \le \sqrt{2}}z=z(-a-\sqrt{a^2-1}=a+\sqrt{a^2-1}$
=> $\mathop {min }\limits_{|t| \le \sqrt{2}}y=\sqrt{a+\sqrt{a^2-1}}$
Kết luận: Nếu $1 \le a \le \frac{3\sqrt{2}}{4}$: $min y= \sqrt{a+\sqrt{a^2-1}}$