|
|
Điều kiện \left\{ \begin{array}{l} \sin x \ne 0\\ c{\rm{osx}} \ne 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow x \ne k\frac{\pi }{2} \left(
1 \right) \Leftrightarrow {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} +
c{\rm{osx}} - m\sin {\rm{x}}c{\rm{osx}} = 0 (2) Đặt
{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + c{\rm{osx = t}}, t \in \left[ {
- \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right],t \ne \pm 1, (3) trở thành t - m.\frac{{{t^2} - 1}}{2} = 0 \Leftrightarrow f\left( t \right) = m{t^2} - 2t - m (3) Phải chứng minh (3) có ít ra 1 nghiệm \ne \pm 1 và \in \left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right] Trường hợp m = 0 (3) có nghiệm t = 0: thõa mãn Trường hợp m \ne 0: f\left( { \pm 1} \right) = \pm 2 \Rightarrow \pm 1 không phải là nghiệm của (3) Mặt
khác f\left( 1 \right).f\left( { - 1} \right) = - 4 < 0 nên có
nghiệm \in \left( { - 1;1} \right). Cũng thuộc \in \left( { - \sqrt
2 ;\sqrt 2 } \right) Vậy với \forall m (3) đều có nghiệm thích hợp \Rightarrow \left( 1 \right) có nghiệm (đpcm) Để
(1) có nghiệm \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right). Vẫn đưa phương
trình về dạng (3), nhưng do x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)
nên t = {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + c{\rm{osx}} = \sqrt 2
\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) \in \left( {1,\sqrt 2 }
\right)( vì x + \frac{\pi }{4} \in \left( {\frac{\pi }{4};\frac{{3\pi
}}{4}} \right) \Rightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) \in
\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2};1} \right]) \Rightarrow t = \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) \in \left( {1;\sqrt 2 } \right] Vậy (3) phải có ít nhất một nghiệm \in \left( {1;\sqrt 2 } \right] Trường hợp m = 0 loại vì (3) có nghiệm t = 0 \in \left( {1;\sqrt 2 } \right] Trường
hợp m \ne 0. Do f\left( { - 1} \right).f\left( 1 \right) = - 4 <
0 nên (3) có 1 nghiệm {t_1} \in \left( { - 1;1} \right) nghiệm
{t_2}\overline \in \left( { - 1;1} \right], để {t_2} \in \left(
{1,\sqrt 2 } \right] phải có \left\{ \begin{array}{l} m.f\left( 1 \right) < 0\\ m.f\left( {\sqrt 2 } \right) \ge 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m\left( { - 2} \right) < 0\\ m.\left( {m - 2\sqrt 2 } \right) \ge 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow m \ge 2\sqrt 2 . Đây là các giá trị m cần tìm
|