Đặt $2^x=a,3^x=b\Rightarrow a,b>0$
$bpt\Leftrightarrow ab+1 \le a^3-\frac{b^3}{27}$
$\Leftrightarrow ab+1 -ab\left(a-\frac b3\right)\le \left(a-\frac b3\right)^3$
$\Leftrightarrow \left(a-\frac b3-1\right)\left[\left(a-\frac b3\right)^2+\left(a-\frac b3\right)+1+ab\right] \ge 0$
$\Leftrightarrow a \ge \frac b3+1$
$\Leftrightarrow 2^x \ge 3^{x-1}+1\Leftrightarrow 2.2^{x-1} \ge 3^{x-1}+1$
$\Leftrightarrow 2^{x-1}-1^{x-1} \ge 3^{x-1}-2^{x-1}$
Đặt $f(t)=(t+1)^{x-1}-t^{x-1}$. Bpt đã cho trở thành $f(1) \ge f(2)$
Theo định lí Lagrange thì $\exists\; m\in (1;2): f'(m)=\frac{f(1)-f(2)}{1-2} $
Hay $f'(m)=f(2)-f(1) \le 0\Leftrightarrow (x-1)\left[(m+1)^{x-2}-m^{x-2}\right] \le0 $
$\Leftrightarrow (x-1)\left[\left(1+\frac 1m\right)^{x-2}-1\right] \le 0\Leftrightarrow 1 \le x \le 2$