(a+b+c)2≤(a2+1+1)(1+b2+c2)=(a2+2)(b2+c2+1), (b2+2)(c2+2)≥3(b2+c2+1)⇔(b2–1)(c2–1)≥0

Lỗi latex

$pt(2)\Leftrightarrow (a-b)(a^3-b^3-3a^2-3b^2)=2(a^3-b^3-3a^2-3b^2)$$\Leftrightarrow a^3-b^3=3(a^2+b^2)\Leftrightarrow (a-b)(a^2+ab+b^2)=3(a^2+b^2)$Mặt khác do $a-b<2 \vee ab \le |ab| \le a^2+b^2$$\hookrightarrow VT <2(a^2+ab+b^2) \le 3(a^2+b^2)=VP$HPT VN

$pt(2)\Leftrightarrow (a-b)(a^3-b^3-3a^2-3b^2)=2(a^3-b^3-3a^2-3b^2)$$\Leftrightarrow a^3-b^3=3(a^2+b^2)\Leftrightarrow (a-b)(a^2+ab+b^2)=3(a^2+b^2)$Mặt khác do $a-b<2 \vee 2ab \le 2|ab| \le a^2+b^2$$\hookrightarrow VT <2(a^2+ab+b^2) \le 3(a^2+b^2)=VP$HPT VN

Ta có $\bullet\;\sum \frac{a^2}{b+c} -\frac{a+b+c}{2}$$=\sum \Bigg(\frac{a^2}{b+c}-\frac{b+c-4a}{4} \Bigg)= \sum \frac{(2a-b-c)^2}{4(b+c)}$$\bullet\;\frac{\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}}{2}-\frac{a+b+c}{2}= \frac{3(a^2+b^2+c^2)-(a+b+c)^2}{2\Big[\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}+(a+b+c) \Big]}$$\le \frac{(2a-b-c)^2+(2b-c-a)^2+(2c-a-b)^2}{12(a+b+c) } $Nên chỉ cần cm$ \sum \frac{(2a-b-c)^2}{4(b+c)} \ge \sum \frac{(2a-b-c)^2}{12(a+b+c) }$$\Leftrightarrow \sum(2a-b-c)^2\left(\frac{1}{b+c}- \frac{1}{3(a+b+c)} \right) \ge0$BDT cuối luôn đúng, đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$

Ta có $\bullet\;\sum \frac{a^2}{b+c} -\frac{a+b+c}{2}$$=\sum \Bigg(\frac{a^2}{b+c}-\frac{b+c-4a}{4} \Bigg)= \sum \frac{(2a-b-c)^2}{4(b+c)}$$\bullet\;\frac{\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}}{2}-\frac{a+b+c}{2}= \frac{3(a^2+b^2+c^2)-(a+b+c)^2}{2\Big[\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}+(a+b+c) \Big]}$$\le \frac{(2a-b-c)^2+(2b-c-a)^2+(2c-a-b)^2}{12(a+b+c) } $Nên chỉ cần cm$ \sum \frac{(2a-b-c)^2}{4(b+c)} \ge \sum \frac{(2a-b-c)^2}{12(a+b+c) }$$\Leftrightarrow \sum(2a-b-c)^2\left(\frac{1}{b+c}- \frac{1}{3(a+b+c)} \right) \ge0$BDT cuối luôn đúng, đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c$

Ta có $\bullet\;\sum \frac{a^2}{b+c} -\frac{a+b+c}{2}$$=\sum \Bigg(\frac{a^2}{b+c}-\frac{b+c-4a}{4} \Bigg)= \sum \frac{(2a-b-c)^2}{4(b+c)}$$\bullet\;\frac{\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}}{2}-\frac{a+b+c}{2}= \frac{3(a^2+b^2+c^2)-(a+b+c)^2}{2\Big[\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}+(a+b+c) \Big]}$$=\frac{(2a-b-c)^2+(2b-c-a)^2+(2c-a-b)^2}{6\Big[\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}+(a+b+c) \Big]}$$\therefore\sum \frac{a^2}{b+c} \ge \frac{\sqrt{a^2+^2+c^2}}{2}$$\Longleftrightarrow \sum \frac{(2a-b-c)^2}{4(b+c)} \ge \sum \frac{(2a-b-c)^2}{6\Big[\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}+(a+b+c) \Big]}$$\Leftrightarrow \sum(2a-b-c)^2\left(\frac{1}{2(b+c)}- \frac{1}{3\left[\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)} +(a+b+c)\right]} \right) \ge0$BDT cuối luôn đúng, đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$

Ta có $\bullet\;\sum \frac{a^2}{b+c} -\frac{a+b+c}{2}$$=\sum \Bigg(\frac{a^2}{b+c}-\frac{b+c-4a}{4} \Bigg)= \sum \frac{(2a-b-c)^2}{4(b+c)}$$\bullet\;\frac{\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}}{2}-\frac{a+b+c}{2}= \frac{3(a^2+b^2+c^2)-(a+b+c)^2}{2\Big[\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}+(a+b+c) \Big]}$$\le \frac{(2a-b-c)^2+(2b-c-a)^2+(2c-a-b)^2}{12(a+b+c) } $Nên chỉ cần cm$ \sum \frac{(2a-b-c)^2}{4(b+c)} \ge \sum \frac{(2a-b-c)^2}{12(a+b+c) }$$\Leftrightarrow \sum(2a-b-c)^2\left(\frac{1}{b+c}- \frac{1}{3(a+b+c)} \right) \ge0$BDT cuối luôn đúng, đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$

Áp dụng bất đẳng thức CBS, ta có (a+b+c)2&#x2264;(a2+1+1)(1+b2+c2)=(a2+2)(b2+c2+1)." role="presentation" style="font-size: 13.696px; display: inline; word-spacing: 0px; position: relative;">(a+b+c)2≤(a2+1+1)(1+b2+c2)=(a2+2)(b2+c2+1).(a+b+c)2≤(a2+1+1)(1+b2+c2)=(a2+2)(b2+c2+1). (b2+2)(c2+2)&#x2265;3(b2+c2+1)&#x21D4;(b2&#x2013;1)(c2&#x2013;1)&#x2265;0" role="presentation" style="font-size: 13.696px; word-spacing: 0px; position: relative;">(b2+2)(c2+2)≥3(b2+c2+1)⇔(b2–1)(c2–1)≥0(b2+2)(c2+2)≥3(b2+c2+1)⇔(b2–1)(c2–1)≥0

Lỗi latex

BĐT khó

Cho a, b, c là các số thực không âm. Chứng minh rằng$ (a^2 + 2)(b^2 + 2)(c^2 + 2) ≥ 3(a + b + c)^2 $

Bất đẳng thức

Cho $a,b,c \ge0$. Chứng minh bdt
r/>$(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2) \ge (a+b+c)^2$

Bất đẳng thức

Tư duy bất đẳng thức

Với $a,b,c>0$Chứng minh $\sum\frac{a^2}{b+c}\geq\frac{\sum a}{2}$Chứng minh với kết quả mạnh hơn:$\sum\frac{a^2}{b+c}\geq\frac{\sqrt{3( a^2+b^2+c^2)}}{2}$

Bất đẳng thức

Tư duy bất đẳng thức

Với $a,b,c>0$Chứng minh $\sum\frac{a^2}{b+c}\geq\frac{ a+b+c}{2}$Chứng minh với kết quả mạnh hơn:$\sum\frac{a^2}{b+c}\geq\frac{\sqrt{3( a^2+b^2+c^2)}}{2}$

Bất đẳng thức

Tư duy bất đẳng thức

Với $a,b,c>0$Chứng minh $\sum\frac{a^2}{b+c}\geq\frac{\sum a}{2}$Chứng minh với kết quả mạnh hơn:$\sum\frac{a^2}{b+c}\geq\frac{\sqrt{3\sum a^2}}{2}$

Bất đẳng thức

Tư duy bất đẳng thức

Với $a,b,c>0$Chứng minh $\sum\frac{a^2}{b+c}\geq\frac{\sum a}{2}$Chứng minh với kết quả mạnh hơn:$\sum\frac{a^2}{b+c}\geq\frac{\sqrt{3( a^2+b^2+c^2)}}{2}$

Bất đẳng thức

1) $\cos x(2 cos^2 x-1+15)-5(2cos^2x-1)-11=0\Leftrightarrow 2cos^3x-10cos^2+14cosx-6=0\Leftrightarrow cosx=..........( bấm máy tính và tự giải nốt)$

1) $\cos x(2\cos^2 x-1+15)-5(2\cos^2x-1)-11=0 \\\Leftrightarrow 2\cos^3x-10\cos^2+14 \cos x-6=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos x=3\\ \cos x=1 \end{array} \right.$

3)x+1+x2&#x2212;4x+1=3x" role="presentation" style="font-size: 13.696px; display: inline; position: relative;">x+1+x2−4x+1−−−−−−−−−−√=3x√x+1+x2−4x+1=3x&#x21D4;(x+1)+(x&#x2212;1)2&#x2212;6x=3x" role="presentation" style="font-size: 13.696px; display: inline; position: relative;">⇔(x+1)+(x+1)2−6x−−−−−−−−−−−√=3x√x⇔(x+1)+(x−1)2−6x=3x&#x21D4;1+1&#x2212;6(xx+1)2=3(xx+1)" role="presentation" style="font-size: 13.696px; position: relative;">ta chia ca hai ve cho x+1#0 ,có⇔1+1−6(x√x+1)2−−−−−−−−−−−√=3(x√x+1)⇔1+1−6(xx+1)2=3(xx+1)Đặt xx+1=a" role="presentation" style="font-size: 13.696px; display: inline; position: relative;">x√x+1=axx+1=a&#x2192;" role="presentation" style="font-size: 13.696px; display: inline; position: relative;">→→ PT trở thành: 1+1&#x2212;6a2=3a" role="presentation" style="font-size: 13.696px; display: inline; position: relative;">1+1−6a2−−−−−−√=3a1+1−6a2=3a&#x2192;..................." role="presentation" style="font-size: 13.696px; display: inline; position: relative;">→...................

lỗi latex

Áp dụng bdt holderTa có: $\sum\frac{a}{\sqrt{a+b}}.\sum\frac{a}{\sqrt{a+b}}.\Bigg[a(a+b)+b(b+c)+c(c+a) \Bigg] \ge (a+b+c)^3$$\Leftrightarrow VT^2 \ge \frac{(a+b+c)^3}{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca} \ge \frac{(a+b+c)^3}{2(a^2+b^2+c^2)} $Ta cần cm $\frac{(a+b+c)^3}{2(a^2+b^2+c^2)} \ge \frac{3\sqrt{3(ab+bc+ca})}{2}$$\Leftrightarrow \frac{a+b+c}{\sqrt{3(ab+bc+ca)}} \ge \frac{3(a^2+b^2+c^2)}{(a+b+c)^2}$$\Leftrightarrow \frac{a+b+c-\sqrt{3(ab+bc+ca)}}{\sqrt{3(ab+bc+ca)}} \ge \frac{3(a^2+b^2+c^2)-(a+b+c)^2}{(a+b+c)^2}$$\Leftrightarrow \tfrac{a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca}{\left[(a+b+c)+\sqrt{3(ab+bc+ca)}\right].\sqrt{3(ab+bc+ca)}} \ge \tfrac{2(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)}{2(a+b+c)^2}$$\Leftrightarrow (a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\left(2(a+b+c)^2-\sqrt{3(ab+bc+ca)}(a+b+c) -3(ab+bc+ca)\right) \ge0$BDT trên đúng do $\begin{cases}a^2+b^2+c^2 \ge ab+bc+ca \\ 2(a+b+c)^2 \ge(a+b+c)^2+3(ab+bc+ca) \ge \sqrt{3(ab+bc+ca)}(a+b+c)+3(ab+bc+ca)\end{cases}$Do đó $VT^2 \ge \frac{3\sqrt{3(ab+bc+ca)}}{2} \ge \frac 92$Suy ra $\min=\sqrt{\frac 92}\Leftrightarrow a=b=c=1$

Áp dụng bdt holderTa có $\sum\frac{a}{\sqrt{b+c}}.\sum\frac{a}{\sqrt{b+c}}.\Bigg[a(b+c)+b(c+a)+c(a+b) \Bigg] \ge (a+b+c)^3$$\Leftrightarrow \left[ \sum\frac a{\sqrt{b+c}} \right]^2 \ge \frac{(a+b+c)^3}{2(ab+bc+ca)} \ge \frac{3(ab+bc+ca)(a+b+c)}{2(ab+bc+ca)} \ge \frac{9}{2}$$\Rightarrow \sum\frac{a}{\sqrt{b+c}} \ge \sqrt{\frac 92}$Mặt khác khi thay $a=b=c=1$ thì $\sum\frac{a}{\sqrt{b+c}}=\sqrt{\frac 92}$Vậy $\min=\sqrt{\frac 92}$

Áp dụng bdt holderTa có $\sum\frac{a}{\sqrt{a+b}}.\sum\frac{a}{\sqrt{a+b}}.\Bigg[(a+b)+(b+c)+(c+a) \Bigg] \ge (a+b+c)^3$$\Leftrightarrow \left[ \sum\frac a{\sqrt{b+c}} \right]^2 \ge \frac{(a+b+c)^2}{2} \ge \frac{3(ab+bc+ca)}{2} \ge \frac{9}{2}$$\Rightarrow \sum\frac{a}{\sqrt{a+b}} \ge \sqrt{\frac 92}$Mặt khác khi thay $a=b=c=1$ thì $\sum\frac{a}{\sqrt{a+b}}=\sqrt{\frac 92}$Vậy $\min=\sqrt{\frac 92}$

Áp dụng bdt holderTa có: $\sum\frac{a}{\sqrt{a+b}}.\sum\frac{a}{\sqrt{a+b}}.\Bigg[a(a+b)+b(b+c)+c(c+a) \Bigg] \ge (a+b+c)^3$$\Leftrightarrow VT^2 \ge \frac{(a+b+c)^3}{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca} \ge \frac{(a+b+c)^3}{2(a^2+b^2+c^2)} $Ta cần cm $\frac{(a+b+c)^3}{2(a^2+b^2+c^2)} \ge \frac{3\sqrt{3(ab+bc+ca})}{2}$$\Leftrightarrow \frac{a+b+c}{\sqrt{3(ab+bc+ca)}} \ge \frac{3(a^2+b^2+c^2)}{(a+b+c)^2}$$\Leftrightarrow \frac{a+b+c-\sqrt{3(ab+bc+ca)}}{\sqrt{3(ab+bc+ca)}} \ge \frac{3(a^2+b^2+c^2)-(a+b+c)^2}{(a+b+c)^2}$$\Leftrightarrow \tfrac{a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca}{\left[(a+b+c)+\sqrt{3(ab+bc+ca)}\right].\sqrt{3(ab+bc+ca)}} \ge \tfrac{2(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)}{2(a+b+c)^2}$$\Leftrightarrow (a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\left(2(a+b+c)^2-\sqrt{3(ab+bc+ca)}(a+b+c) -3(ab+bc+ca)\right) \ge0$BDT trên đúng do $\begin{cases}a^2+b^2+c^2 \ge ab+bc+ca \\ 2(a+b+c)^2 \ge(a+b+c)^2+3(ab+bc+ca) \ge \sqrt{3(ab+bc+ca)}(a+b+c)+3(ab+bc+ca)\end{cases}$Do đó $VT^2 \ge \frac{3\sqrt{3(ab+bc+ca)}}{2} \ge \frac 92$Suy ra $\min=\sqrt{\frac 92}\Leftrightarrow a=b=c=1$

đang ôn thi, mọi người giúp em nhanh với, em cảm ơn trước

Cho x,y,z là các số thực thỏa mãn điều kiện $\frac{3x_{2}}{2}$ + $y^{2}$ +$z^{2}$ + yz =1.Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức x+y+z.

Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

đang ôn thi, mọi người giúp em nhanh với, em cảm ơn trước

Cho x,y,z là các số thực thỏa mãn điều kiện $\frac{3}{2}x^2+ y^{2}+z^{2} + yz =1.$Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức $P=x+y+z.$

Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

Sáng tạo bất đẳng thức (3)

Cho các số không âm $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=3$, chứng minh :$$a^3+b^3+c^3+15 \ge a^2+b^2+c^2 +5\sum_{cyc} a^2b$$

Bất đẳng thức

(3)

Cho các số không âm $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=3$, chứng minh :$$a^3+b^3+c^3+15 \ge a^2+b^2+c^2 +5\sum_{cyc} a^2b$$

Bất đẳng thức

giúp đỡ mk với. mk yếu oxy quá

trong mặt phẳng tọa độ oxy , cho tam giác abc có diện tich bằng \frac{3}{2}; A(2;-3). B(3;-2). trọng tâm của tam giác abc nằm trên đường thẳng d:3x-y-8=0. viết pt đường tròn đi qua 3 điểm A,B,C

Mặt phẳng

giúp đỡ mk với. mk yếu oxy quá

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ , cho tam giác $ABC$ có diện tich bằng $\frac{3}{2}$; $A(2;-3). B(3;-2)$. trọng tâm của tam giác $ABC$ nằm trên đường thẳng $d:3x-y-8=0$. viết pt đường tròn đi qua 3 điểm A,B,C

Hình học phẳng