Ta có $ y^{2} = x^{4}+ x^{3} + 2x^{2}+2x +1= x(x^{2}+ 2)(x+1)+1$
$\Rightarrow (y+1)(y-1) = (x^{3}+2x)(x+1) = (x^{2}+x)(x^{2}+2) = x(x^{3}+ x^{2} + 2x+1)$
vì $y+1>y-1$ nên ta có các hệ
$\begin{cases}y+1 =x^{3}+2x \\ y-1= x+1 \end{cases} $(I)
$\begin{cases}y+1=x+1 \\ y-1=x^{3}+2x \end{cases}$(2)
$\begin{cases}y+1=x^{2} + x\\ y-1=x^{2} +2\end{cases}$(3)
$\begin{cases}y+1= x^{2}+2 \\ y-1=x^{2}+x \end{cases}$(4)
$\begin{cases} y-1 = x \\ y+1=x^{3}+x^{2}+2x+1 \end{cases}$(5)
Hệ $(1);(2);(5)$ không có nghiệm nguyên
Hệ $(3)$ có nghiệm $(4;19);(4;-19)$
Hệ $(4)$ có nghiệm $(0;1);(0;-1)$
Tóm lại pt có 4 nghiệm nguyên