Đk $ x \neq 0 , y \neq 0$hpt $\Leftrightarrow \begin{cases}\frac{x}{2y}= \frac{3y}{x}+2 \\ \frac{y}{2x}= \frac{x}{2y}+2 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}\frac{x}{2y}-\frac{y}{2x}=\frac{3y}{x}-\frac{3x}{y} \\ \frac{x}{2y}= \frac{3y}{x}+2 \end{cases}$$\Leftrightarrow \begin{cases}\frac{4x}{y}=\frac{4y}{x} \\ \frac{x}{2y}= \frac{3y}{x}+2 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x^2=y^2 \\ \frac{x}{2y}= \frac{3y}{x}+2 \end{cases}$$\Rightarrow \begin{cases}x=y \\ \frac{1}{2}=3+2 \end{cases} \text{(vô nghiệm) hoặc} \begin{cases}x= -y\\ \frac{-1}{2}= -3+2\end{cases} (\text{vô nghiệm}) $$\Rightarrow$ phương trình vô nghiệm

Đk $ x \neq 0 , y \neq 0$hpt $\Leftrightarrow \begin{cases}\frac{x}{2y}= \frac{3y}{x}+2 \\ \frac{y}{2x}= \frac{x}{2y}+2 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}\frac{x}{2y}-\frac{y}{2x}=\frac{3y}{x}-\frac{3x}{y} \\ \frac{x}{2y}= \frac{3y}{x}+2 \end{cases}$$\Leftrightarrow \begin{cases}\frac{4x}{y}=\frac{4y}{x} \\ \frac{x}{2y}= \frac{3y}{x}+2 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x^2=y^2 \\ \frac{x}{2y}= \frac{3y}{x}+2 \end{cases}$$\Rightarrow \begin{cases}x=y \\ \frac{1}{2}=3+2 \end{cases} \text{(vô nghiệm) hoặc} \begin{cases}x= -y\\ \frac{-1}{2}= -3+2\end{cases} (\text{vô nghiệm}) $$\Rightarrow$ hệ phương trình vô nghiệm

Nếu $n$ chẵn thì $O$ là điểm đối xứng của $ \frac{n}{2}$ cặp đỉnh nên tổng của chúng bằng $ \vec{0}$Nếu $n$ lẻ thì áp dụng qui tắc trọng tâm $ \vec{MA_1}+\vec{MA_2}+\vec{MA_3}+...+\vec{MA_n}=n.\vec{MO}$ (Với $M$ là điểm bất kì$$\Rightarrow \vec{MO}+\vec{OA_1}+\vec{MO}+\vec{OA_2}+...+\vec{MO}+\vec{OA_n}=n.\vec{MO}$$\Rightarrow n.\vec{MO}+\vec{OA_1} +\vec{OA_2}+\vec{OA_3}+...+\vec{OA_n }=n.\vec{MO}$$\Rightarrow \vec{OA_1} +\vec{OA_2}+\vec{OA_3}+...+\vec{OA_n }=\vec{0}$ (dpcm)

Ta có $O$ là trọng tâm của đa giác đềuNếu $n$ chẵn thì $O$ là điểm đối xứng của $ \frac{n}{2}$ cặp đỉnh nên tổng của chúng bằng $ \vec{0}$Nếu $n$ lẻ thì áp dụng qui tắc trọng tâm $ \vec{MA_1}+\vec{MA_2}+\vec{MA_3}+...+\vec{MA_n}=n.\vec{MO}$ (Với $M$ là điểm bất kì)$\Rightarrow \vec{MO}+\vec{OA_1}+\vec{MO}+\vec{OA_2}+...+\vec{MO}+\vec{OA_n}=n.\vec{MO}$$\Rightarrow n.\vec{MO}+\vec{OA_1} +\vec{OA_2}+\vec{OA_3}+...+\vec{OA_n }=n.\vec{MO}$$\Rightarrow \vec{OA_1} +\vec{OA_2}+\vec{OA_3}+...+\vec{OA_n }=\vec{0}$ (dpcm)

Cho $x.y,z>0$ và $2x+8y+21z \leq 12xyz$

Tìm Min $P=x+2y+3z$Tiện thể cho em hỏi cách tìm điểm rơi và giải bpt khi x,y,z ko bằng nhau ạ

GTLN, GTNN

Cho $x.y,z>0$ và $2x+8y+21z \leq 12xyz$

Tìm Min $P=x+2y+3z$Tiện thể cho em hỏi cách tìm điểm rơi và giải bđt khi x,y,z ko bằng nhau ạ

GTLN, GTNN

Cho $x.y,z>0$ và $ $2x+8y+21z \leq 12xyz$

Tìm Min $P=x+2y+3z$Tiện thể cho em hỏi cách tìm điểm rơi và giải bpt khi x,y,z ko bằng nhau ạ

GTLN, GTNN

Cho $x.y,z>0$ và $2x+8y+21z \leq 12xyz$

Tìm Min $P=x+2y+3z$Tiện thể cho em hỏi cách tìm điểm rơi và giải bpt khi x,y,z ko bằng nhau ạ

GTLN, GTNN

hình vuông

Cho điểm $M$ nằm trong hình vuông $ABCD$. Gọi $P,Q$ là hình chiếu của $M$ trên $BC,CD$Chứng minh $AM \perp PQ$

Hình vuông

hình vuông

Cho điểm $M$ nằm trong hình vuông $ABCD$. Gọi $P,Q$ là hình chiếu của $M$ trên $BC,CD$Chứng minh $AM \perp PQ$

Hình vuông

Bài a) nhaĐặt $\sqrt{(5+2 \sqrt{6})^x}=a $ , $\sqrt{(5-2 \sqrt{6})^x}=b\Rightarrow a+b=10$Ta lại có $a.b= \sqrt{[(5+2\sqrt{6})(5-2\sqrt{6})]^x}=\sqrt{1^x}=1$$\Rightarrow a,b$ là 2 nghiệm của pt $X^2-10X+1=0$ và $a>b$$\Rightarrow a = 5+2\sqrt{6} , b= 5-2\sqrt{6}$$\Rightarrow\begin{cases}\sqrt{(5+2\sqrt{6})^x}=5\pm 2\sqrt{6} \\ \sqrt{(5-2\sqrt{6})^x}= 5\pm 2\sqrt{6}\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}x=\pm2 \\ x=\pm 2 \end{cases}\Rightarrow \color{red}{x=\pm 2}$

Bài a) nhaĐặt $\sqrt{(5+2 \sqrt{6})^x}=a $ , $\sqrt{(5-2 \sqrt{6})^x}=b\Rightarrow a+b=10$Ta lại có $a.b= \sqrt{[(5+2\sqrt{6})(5-2\sqrt{6})]^x}=\sqrt{1^x}=1$$\Rightarrow a,b$ là 2 nghiệm của pt $X^2-10X+1=0$$\Rightarrow a = 5+2\sqrt{6} , b= 5-2\sqrt{6}$$\Rightarrow\begin{cases}\sqrt{(5+2\sqrt{6})^x}=5\pm 2\sqrt{6} \\ \sqrt{(5-2\sqrt{6})^x}= 5\pm 2\sqrt{6}\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}x=\pm2 \\ x=\pm 2 \end{cases}\Rightarrow \color{red}{x=\pm 2}$

Bài a) nhaĐặt $\sqrt{(5+2 \sqrt{6})^x}=a $ , $\sqrt{(5-2 \sqrt{6})^x}=b\Rightarrow a+b=10$ và $a >b$Ta lại có $a.b= \sqrt{[(5+2\sqrt{6})(5-2\sqrt{6})]^x}=\sqrt{1^x}=1$$\Rightarrow a,b$ là 2 nghiệm của pt $X^2-10X+1=0$ và $a>b$$\Rightarrow a = \sqrt{5+2\sqrt{6}} , b= \sqrt{5-2\sqrt{6}}$$\Rightarrow\begin{cases}\sqrt{(5+2\sqrt{6})^x}=\sqrt{5+2\sqrt{6}} \\ \sqrt{(5-2\sqrt{6})^x}= \sqrt{5-2\sqrt{6}}\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}x=1 \\ x=1 \end{cases}\Rightarrow \color{red}{x=1}$

Bài a) nhaĐặt $\sqrt{(5+2 \sqrt{6})^x}=a $ , $\sqrt{(5-2 \sqrt{6})^x}=b\Rightarrow a+b=10$Ta lại có $a.b= \sqrt{[(5+2\sqrt{6})(5-2\sqrt{6})]^x}=\sqrt{1^x}=1$$\Rightarrow a,b$ là 2 nghiệm của pt $X^2-10X+1=0$ và $a>b$$\Rightarrow a = 5+2\sqrt{6} , b= 5-2\sqrt{6}$$\Rightarrow\begin{cases}\sqrt{(5+2\sqrt{6})^x}=5\pm 2\sqrt{6} \\ \sqrt{(5-2\sqrt{6})^x}= 5\pm 2\sqrt{6}\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}x=\pm2 \\ x=\pm 2 \end{cases}\Rightarrow \color{red}{x=\pm 2}$

pt $\Leftrightarrow (x+1)^3-8=3(\sqrt[3]{3x+5}-2)$$\Leftrightarrow(x-1)(x^2+4x+7)=3(\frac{3x+5-8}{\sqrt[3]{(3x+5)^2}+2\sqrt[3]{3x+5}+4})$$\Leftrightarrow(x-1)(x^2+4x+7-\frac{9}{\sqrt[3]{(3x+5)^2}+2\sqrt[3]{3x+5}+4})=0$$\color{red}{\Rightarrow x=1}$$*$Ta có $-\frac{9}{\sqrt[3]{(3x+5)^2}+2\sqrt[3]{3x+5}+4}\geq -\frac{9}{3}=-3$$\Rightarrow x^2+4x+7-\frac{9}{\sqrt[3]{(3x+5)^2}+2\sqrt[3]{3x+5}+4}\geq x^2+4x+4=(x+2)^2=0$Dấu $"="$ xảy ra khi $\begin{cases}x+2=0 \\ \sqrt[3]{3x+5}+1=0 \end{cases}\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=-2\\ x=-2 \end{array} \right.$$\color{red}{\Rightarrow=-2} $

pt $\Leftrightarrow (x+1)^3-8=3(\sqrt[3]{3x+5}-2)$$\Leftrightarrow(x-1)(x^2+4x+7)=3(\frac{3x+5-8}{\sqrt[3]{(3x+5)^2}+2\sqrt[3]{3x+5}+4})$$\Leftrightarrow(x-1)(x^2+4x+7-\frac{9}{\sqrt[3]{(3x+5)^2}+2\sqrt[3]{3x+5}+4})=0$$\color{red}{\Rightarrow x=1}$$*$Ta có $-\frac{9}{\sqrt[3]{(3x+5)^2}+2\sqrt[3]{3x+5}+4}\geq -\frac{9}{3}=-3$$\Rightarrow x^2+4x+7-\frac{9}{\sqrt[3]{(3x+5)^2}+2\sqrt[3]{3x+5}+4}\geq x^2+4x+4=(x+2)^2\geq 0$Dấu $"="$ xảy ra khi $\begin{cases}x+2=0 \\ \sqrt[3]{3x+5}+1=0 \end{cases}\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=-2\\ x=-2 \end{array} \right.$$\color{red}{\Rightarrow=-2} $

Tính $A=x+y=1$ khi biết:

$(x+\sqrt{x^2+2011})(y+\sqrt{y^2+2011})=2011$

Phương trình vô tỉ

Tính $A=x+y$ khi biết:

$(x+\sqrt{x^2+2011})(y+\sqrt{y^2+2011})=2011$

Phương trình vô tỉ

pt $\Leftrightarrow 36x^3-36x^2+9x-1=0$Đặt $y=x-1/3\Rightarrow x=y+1/3$Ta có $36(y+ \frac{1}{3})^3-36(y+\frac{1}{3})^2+9(y+\frac{1}{3})-1=0\Leftrightarrow 36y^3-3y-\frac{2}{3}=0$Đặt $a,b$ tùy ý sao cho $\begin{cases}a+b=y \\ a \geq b \end{cases}$ $\Rightarrow 36(a+b)^3-3(a+b)= \frac{2}{3}\Rightarrow 36(a^3+b^3)+108ab(a+b)-3(a+b)=\frac{2}{3}$$\Rightarrow36(a^3+b^3)+(108ab-3)(a+b)=\frac{2}{3}(*)$Chọn $a,b$ sao cho $108ab-3=0$ hay $ab=\frac{1}{36}$$*\Leftrightarrow 36(a^3+b^3)=\frac{2}{3}\Rightarrow a^3+b^3=\frac{1}{54}$Ta có $\begin{cases}a^3+b^3=\frac{1}{54} \\ a^3b^3=\frac{1}{36^3}\end{cases}$Théo Vi-ét thì $a^3,b^3$ là 2 nghiệm của pt $X^2-\frac{1}{54}.X+\frac{1}{36^3}=0$mà $a \geq b\Rightarrow a^3=\frac{\frac{1}{54}+\frac{1}{36\sqrt{3}}}{2},b^3=\frac{\frac{1}{54}+\frac{1}{36\sqrt{3}}}{2}$$\Rightarrow x=y+\frac{1}{3}=a+b+\frac{1}{3}=\color{red}{\sqrt[3]{\frac{\frac{1}{54}+\frac{1}{36\sqrt{3}}}{2}}+\sqrt[3]{\frac{\frac{1}{54}+\frac{1}{36\sqrt{3}}}{2}}+\frac{1}{3}}$

pt $\Leftrightarrow 36x^3-36x^2+9x-1=0$Đặt $y=x-1/3\Rightarrow x=y+1/3$Ta có $36(y+ \frac{1}{3})^3-36(y+\frac{1}{3})^2+9(y+\frac{1}{3})-1=0\Leftrightarrow 36y^3-3y-\frac{2}{3}=0$Đặt $a,b$ tùy ý sao cho $\begin{cases}a+b=y \\ a \geq b \end{cases}$ $\Rightarrow 36(a+b)^3-3(a+b)= \frac{2}{3}\Rightarrow 36(a^3+b^3)+108ab(a+b)-3(a+b)=\frac{2}{3}$$\Rightarrow36(a^3+b^3)+(108ab-3)(a+b)=\frac{2}{3}(*)$Chọn $a,b$ sao cho $108ab-3=0$ hay $ab=\frac{1}{36}$$*\Leftrightarrow 36(a^3+b^3)=\frac{2}{3}\Rightarrow a^3+b^3=\frac{1}{54}$Ta có $\begin{cases}a^3+b^3=\frac{1}{54} \\ a^3b^3=\frac{1}{36^3}\end{cases}$Théo Vi-ét thì $a^3,b^3$ là 2 nghiệm của pt $X^2-\frac{1}{54}.X+\frac{1}{36^3}=0$mà $a \geq b\Rightarrow a^3=\frac{\frac{1}{54}+\frac{1}{36\sqrt{3}}}{2},b^3=\frac{\frac{1}{54}-\frac{1}{36\sqrt{3}}}{2}$$\Rightarrow x=y+\frac{1}{3}=a+b+\frac{1}{3}=\color{red}{\sqrt[3]{\frac{\frac{1}{54}+\frac{1}{36\sqrt{3}}}{2}}+\sqrt[3]{\frac{\frac{1}{54}-\frac{1}{36\sqrt{3}}}{2}}+\frac{1}{3}}$

PT$ \color{green}{\Leftrightarrow [(x+2)^2-1]+(x+3)^3+[(x+4)^4-1=0]}$$\color{green}{\Leftrightarrow (x+2+1)(x+2-1)+(x+3)^3+[(x+4)^2-1][(x+4)^2+1]=0}$$\color{green}{\Leftrightarrow (x+3)(x+1)+(x+3)^3+(x+4+1)(x+4-1)(x^2+8x+17)=0}$$\color{green}{\Leftrightarrow (x+3)[(x+1)+(x+3)^2]+(x+3)(x+5)(x^2+8x+17)=0}$$\color{green}{\Leftrightarrow (x+3)(x^2+7x+10)+(x+3)(x+5)(x^2+8x+17)=0}$$\color{green}{\Leftrightarrow (x+3)(x+5)(x+2)+(x+3)(x+5)(x^2+8x+17)=0}$$\color{green}{\Leftrightarrow (x+3)(x+5)(x^2+9x+19)=0}$Vậy phương trình có 4 nghiệm $\color{red}{x_1=-3,x_2=-5,x_{3,4}=\frac{-9\pm \sqrt{5}}{2}}$

PT$ \color{green}{\Leftrightarrow [(x+2)^2-1]+(x+3)^3+[(x+4)^4-1]=0}$$\color{green}{\Leftrightarrow (x+2+1)(x+2-1)+(x+3)^3+[(x+4)^2-1][(x+4)^2+1]=0}$$\color{green}{\Leftrightarrow (x+3)(x+1)+(x+3)^3+(x+4+1)(x+4-1)(x^2+8x+17)=0}$$\color{green}{\Leftrightarrow (x+3)[(x+1)+(x+3)^2]+(x+3)(x+5)(x^2+8x+17)=0}$$\color{green}{\Leftrightarrow (x+3)(x^2+7x+10)+(x+3)(x+5)(x^2+8x+17)=0}$$\color{green}{\Leftrightarrow (x+3)(x+5)(x+2)+(x+3)(x+5)(x^2+8x+17)=0}$$\color{green}{\Leftrightarrow (x+3)(x+5)(x^2+9x+19)=0}$Vậy phương trình có 4 nghiệm $\color{red}{x_1=-3,x_2=-5,x_{3,4}=\frac{-9\pm \sqrt{5}}{2}}$

Pt $\Leftrightarrow ( \frac{1}{x}+\frac{1}{x+7})+(\frac{1}{x+2}+\frac{1}{x+5})=(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x+6})+(\frac{1}{x+3}+\frac{1}{x+4})$$\Leftrightarrow\frac{2x+7}{x(x+7)}+\frac{2x+7}{(x+2)(x+5)}-\frac{2x+7}{(x+1)(x+6)}-\frac{2x+7}{(x+3)(x+4)}=0$$\Leftrightarrow(2x+7)[(\frac{1}{x^2+7}-\frac{1}{x^2+7x+6})+(\frac{1}{x^2+7x+10}-\frac{1}{x^2+7x+12)]}=0$Dễ thấy $\frac{1}{x^2+7}>\frac{1}{x^2+7x+6},\frac{1}{x^2+7x+10}>\frac{1}{x^2+7x+12}$$\Rightarrow(\frac{1}{x^2+7}-\frac{1}{x^2+7x+6})+(\frac{1}{x^2+7x+10}-\frac{1}{x^2+7x+12)}\neq 0$$\Rightarrow2x+7=0\Rightarrow \color{red}{x=\frac{-7}{2}}$

Điều kiện $\color{red}{x\neq 0,-1,-2,-3,-4,-5,-6,-7}$Pt $\Leftrightarrow ( \frac{1}{x}+\frac{1}{x+7})+(\frac{1}{x+2}+\frac{1}{x+5})=(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x+6})+(\frac{1}{x+3}+\frac{1}{x+4})$$\Leftrightarrow\frac{2x+7}{x(x+7)}+\frac{2x+7}{(x+2)(x+5)}-\frac{2x+7}{(x+1)(x+6)}-\frac{2x+7}{(x+3)(x+4)}=0$$\Leftrightarrow(2x+7)[(\frac{1}{x^2+7}-\frac{1}{x^2+7x+6})+(\frac{1}{x^2+7x+10}-\frac{1}{x^2+7x+12)]}=0$Dễ thấy $\frac{1}{x^2+7}>\frac{1}{x^2+7x+6},\frac{1}{x^2+7x+10}>\frac{1}{x^2+7x+12}$$\Rightarrow(\frac{1}{x^2+7}-\frac{1}{x^2+7x+6})+(\frac{1}{x^2+7x+10}-\frac{1}{x^2+7x+12)}\neq 0$$\Rightarrow2x+7=0\Rightarrow \color{red}{x=\frac{-7}{2}}$ (thõa đk)

Đặt $\color{red}{ x^2=y \geq 0}$Ta có $ \color{red}{ y^3-7y+\sqrt{6}=0\Rightarrow (y^3+\sqrt{6}y^2-y)-( \sqrt6y^2+6y-\sqrt{6})=0}$$\color{red}{\Rightarrow y(y^2+\sqrt{6}y-1)-\sqrt{6}(y^2+\sqrt{6}y-1)=0}$$\color{red}{\Rightarrow (y-\sqrt{6})(y^2+\sqrt{6}y-1)=0}$$\color{red}{\Rightarrow y=\sqrt{6}}$ hoặc $\color{red}{y^2+\sqrt{6}y-1=0(\bigstar)}$Phương trình $\color{red}{(\bigstar)}$ có 2 nghiệm $\color{red}{y=\frac{\pm\sqrt{10}-\sqrt{6}}{2}}$Ta có nghiệm $\color{red}{y=\frac{\sqrt{10}-\sqrt{6}}{2}}$ thõa vì nghiệm còn lại âm$\color{red}{\Rightarrow x_{1,2}=\pm \sqrt[4]{6},x_{3,4}=\pm \sqrt{\frac{\sqrt{10}-\sqrt{2}}{2}}}$

Đặt $\color{red}{ x^2=y \geq 0}$Ta có $ \color{red}{ y^3-7y+\sqrt{6}=0\Rightarrow (y^3+\sqrt{6}y^2-y)-( \sqrt6y^2+6y-\sqrt{6})=0}$$\color{red}{\Rightarrow y(y^2+\sqrt{6}y-1)-\sqrt{6}(y^2+\sqrt{6}y-1)=0}$$\color{red}{\Rightarrow (y-\sqrt{6})(y^2+\sqrt{6}y-1)=0}$$\color{red}{\Rightarrow y=\sqrt{6}}$ hoặc $\color{red}{y^2+\sqrt{6}y-1=0(\bigstar)}$Phương trình $\color{red}{(\bigstar)}$ có 2 nghiệm $\color{red}{y=\frac{\pm\sqrt{10}-\sqrt{6}}{2}}$Ta có nghiệm $\color{red}{y=\frac{\sqrt{10}-\sqrt{6}}{2}}$ thõa vì nghiệm còn lại âm$\color{red}{\Rightarrow x_{1,2}=\pm \sqrt[4]{6},x_{3,4}=\pm \sqrt{\frac{\sqrt{10}-\sqrt{6}}{2}}}$

Đặt $\color{red}{ x^2=y \geq 0}$Ta có $ \color{red}{ y^3-7y+\sqrt{6}=0\Rightarrow (y^3+\sqrt{6}y^2-y)-( \sqrt6y^2+6y-\sqrt{6})=0}$$\color{red}{\Rightarrow y(y^2+\sqrt{6}y-1)-\sqrt{6}(y^2+\sqrt{6}y-1)=0}$$\color{red}{\Rightarrow (y-\sqrt{6})(y^2+\sqrt{6}y-1)=0}$$\color{red}{\Rightarrow y=\sqrt{6}}$ hoặc $\color{red}{y^2+\sqrt{6}y-1(\bigstar)}$Phương trình $\color{red}{(\bigstar)}$ có 2 nghiệm $\color{red}{y=\frac{\pm\sqrt{10}-\sqrt{6}}{2}}$Ta có nghiệm $\color{red}{y=\frac{\sqrt{10}-\sqrt{6}}{2}}$ thõa vì nghiệm còn lại âm$\color{red}{\Rightarrow x=\pm \sqrt[4]{6},x=\pm \sqrt{\frac{\sqrt{10}-\sqrt{2}}{2}}}$

Đặt $\color{red}{ x^2=y \geq 0}$Ta có $ \color{red}{ y^3-7y+\sqrt{6}=0\Rightarrow (y^3+\sqrt{6}y^2-y)-( \sqrt6y^2+6y-\sqrt{6})=0}$$\color{red}{\Rightarrow y(y^2+\sqrt{6}y-1)-\sqrt{6}(y^2+\sqrt{6}y-1)=0}$$\color{red}{\Rightarrow (y-\sqrt{6})(y^2+\sqrt{6}y-1)=0}$$\color{red}{\Rightarrow y=\sqrt{6}}$ hoặc $\color{red}{y^2+\sqrt{6}y-1=0(\bigstar)}$Phương trình $\color{red}{(\bigstar)}$ có 2 nghiệm $\color{red}{y=\frac{\pm\sqrt{10}-\sqrt{6}}{2}}$Ta có nghiệm $\color{red}{y=\frac{\sqrt{10}-\sqrt{6}}{2}}$ thõa vì nghiệm còn lại âm$\color{red}{\Rightarrow x_{1,2}=\pm \sqrt[4]{6},x_{3,4}=\pm \sqrt{\frac{\sqrt{10}-\sqrt{2}}{2}}}$

Gọi tâm đường tròn nội tiếp $ \triangle ABC$ là $(O;r)$Kẻ $OH \bot AB$ tại $H$, $OK \bot AC$ tại $K$, $OI \bot AC$ tại $I$ và ta có $OH=OK=OI=r$Tứ giác $OKAH$ có $3$ góc vuông và $OH=OK$$\Rightarrow $ Tứ giác $OKAH$ là hình vuôngDễ dàng chứng minh $\triangle COK=\triangle COI$ (cạnh huyền góc nhọn)$\Rightarrow CK=IC$Tương tự ta được $BH=BI$$\Rightarrow BH+CK=BI+IC=BC $ Ta có $2r = AH+AK=(AB-BH)+(AC-CK)=(AB+AC)-(BH+CK)=b+c-a$Lại có $(c+b)^2+(c-b)^2\geq (c+b)^2\Rightarrow 2(b^2+c^2)\geq (b+c)^2$$\Rightarrow2a^2\geq (b+c)^2$ (vì $a^2=b^2+c^2$)$\Rightarrow b+c\leq \sqrt{2}a\Rightarrow b+c-a\leq \sqrt{2}a-a$ mà $b+c-a=2r$$\Rightarrow 2r\leq a(\sqrt{2}-1)\Rightarrow \frac{r}{a}\leq \frac{\sqrt{2-1}}{2}$ (đpcm)

Gọi tâm đường tròn nội tiếp $ \triangle ABC$ là $(O;r)$Kẻ $OH \bot AB$ tại $H$, $OK \bot AC$ tại $K$, $OI \bot AC$ tại $I$ và ta có $OH=OK=OI=r$Tứ giác $OKAH$ có $3$ góc vuông và $OH=OK$$\Rightarrow $ Tứ giác $OKAH$ là hình vuôngDễ dàng chứng minh $\triangle COK=\triangle COI$ (cạnh huyền góc nhọn)$\Rightarrow CK=IC$Tương tự ta được $BH=BI$$\Rightarrow BH+CK=BI+IC=BC $ Ta có $2r = AH+AK=(AB-BH)+(AC-CK)=(AB+AC)-(BH+CK)=b+c-a$Lại có $(c+b)^2+(c-b)^2\geq (c+b)^2\Rightarrow 2(b^2+c^2)\geq (b+c)^2$$\Rightarrow2a^2\geq (b+c)^2$ (vì $a^2=b^2+c^2$)$\Rightarrow b+c\leq \sqrt{2}a\Rightarrow b+c-a\leq \sqrt{2}a-a$ mà $b+c-a=2r$$\Rightarrow 2r\leq a(\sqrt{2}-1)\Rightarrow \frac{r}{a}\leq \frac{\sqrt{2}-1}{2}$ (đpcm)