1,$\begin{cases}2x^{2}-xy+y^{2}=3 (1) \\ 2x^{3}-9y^{3}=(x-y)(2xy+3) \end{cases}$với $x,y\in R$ thay (1) vào (2) ta được(2) $\Leftrightarrow 2x^{3}-9y^{3}=(x-y)(2x^{2}+xy+y^{2})$$\Leftrightarrow 8y^{3}-x^{2}y=0$$\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} x=2\sqrt{2}y(3)\\ x=-2\sqrt{2}y(4) \end{matrix}} \right.$ (vì y=0 không phải nghiệm hệ)thay (3) vào (1) ta được$16y^{2}-2\sqrt{2}y^{2}+y^{2}=3$$\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} y=\sqrt{\frac{3}{17-2\sqrt{2}}}\\y= -\sqrt{\frac{3}{17-2\sqrt{2}}} \end{matrix}} \right.$$\Rightarrow \left[ {\begin{matrix} x=2\sqrt{\frac{6}{17-2\sqrt{2}}}\\x=-2\sqrt{\frac{6}{17-2\sqrt{2}}} \end{matrix}} \right.$tương tự thay (4) vào (1) ta được$\left[ {\begin{matrix} y=\sqrt{\frac{3}{17+2\sqrt{2}}}\\ y= -\sqrt{\frac{3}{17+2\sqrt{2}}}\end{matrix}} \right.$$\Rightarrow \left[ {\begin{matrix} x=2\sqrt{\frac{6}{17+2\sqrt{2}}}\\ x=-2\sqrt{\frac{6}{17+2\sqrt{2}}} \end{matrix}} \right.$2,với $y\neq 0$hệ $\Leftrightarrow \begin{cases}xy+x+2-10y=0 (1) \\ x^{2}y^{2}+2xy^{2}-12y^{2}+1=0 (2) \end{cases}$vì x=10 không phải nghiệm hệ nên (1) $\Leftrightarrow y=\frac{x+2}{10-x}$ thay vào (2) ta được(2) $\Leftrightarrow x^{4}+6x^{3}+x^{2}-60x+52=0$$\Leftrightarrow (x^{2}-3x+2)(x^{2}+9x+26)=0$$\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} x=1\Rightarrow y=-\frac{1}{3}\\ x=2\Rightarrow y=-\frac{1}{2}\end{matrix}} \right.$3, với $x\geq 5, y\geq 0$hệ $\Leftrightarrow \begin{cases}x\sqrt{x}-8\sqrt{y}=\sqrt{x}+y\sqrt{y} (1) \\ y=x-5 (2) \end{cases}$thay (2) vào (1) ta được(1) $\Leftrightarrow x\sqrt{x}-8\sqrt{x-5}-\sqrt{x}-(x-5)\sqrt{x-5}=0$$\Leftrightarrow x(\sqrt{x}-3)-8(\sqrt{x-5}-2)-(\sqrt{x}-3)-(x-5)(\sqrt{x-5}-2)+x-9=0$$\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} x-9=0\\ \frac{x-1}{\sqrt{x}+3}-\frac{x+3}{\sqrt{x-5}+2}+1=0 \end{matrix}} \right.$(1) $\Leftrightarrow x=9$xét (2) ta cóVT=$ \geq \frac{4}{\sqrt{x}+3}-\frac{x+3}{2}+1=\frac{4}{\sqrt{x}+3}-\frac{x+1}{2} \forall x\geq 5$ta luôn có$(\sqrt{x}-1)(x+4\sqrt{x}+5)>0\forall x\geq 5$$\Leftrightarrow (x+1)(\sqrt{x}+3)<8$$\Leftrightarrow \frac{4}{\sqrt{x}+3}>\frac{x+1}{2}$từ đó suy ra VT $>0\forall x\geq 5$vậy (2) vô nghiệmKL (x;y)=(9;4) là nghiệm duy nhất của hệ.

1,$\begin{cases}2x^{2}-xy+y^{2}=3 (1) \\ 2x^{3}-9y^{3}=(x-y)(2xy+3) \end{cases}$với $x,y\in R$ thay (1) vào (2) ta được(2) $\Leftrightarrow 2x^{3}-9y^{3}=(x-y)(2x^{2}+xy+y^{2})$$\Leftrightarrow 8y^{3}-x^{2}y=0$$\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} x=2\sqrt{2}y(3)\\ x=-2\sqrt{2}y(4) \end{matrix}} \right.$ (vì y=0 không phải nghiệm hệ)thay (3) vào (1) ta được$16y^{2}-2\sqrt{2}y^{2}+y^{2}=3$$\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} y=\sqrt{\frac{3}{17-2\sqrt{2}}}\\y= -\sqrt{\frac{3}{17-2\sqrt{2}}} \end{matrix}} \right.$$\Rightarrow \left[ {\begin{matrix} x=2\sqrt{\frac{6}{17-2\sqrt{2}}}\\x=-2\sqrt{\frac{6}{17-2\sqrt{2}}} \end{matrix}} \right.$tương tự thay (4) vào (1) ta được$\left[ {\begin{matrix} y=\sqrt{\frac{3}{17+2\sqrt{2}}}\\ y= -\sqrt{\frac{3}{17+2\sqrt{2}}}\end{matrix}} \right.$$\Rightarrow \left[ {\begin{matrix} x=2\sqrt{\frac{6}{17+2\sqrt{2}}}\\ x=-2\sqrt{\frac{6}{17+2\sqrt{2}}} \end{matrix}} \right.$2,với $y\neq 0$hệ $\Leftrightarrow \begin{cases}xy+x+2-10y=0 (1) \\ x^{2}y^{2}+2xy^{2}-12y^{2}+1=0 (2) \end{cases}$vì x=10 không phải nghiệm hệ nên (1) $\Leftrightarrow y=\frac{x+2}{10-x}$ thay vào (2) ta được(2) $\Leftrightarrow x^{4}+6x^{3}+x^{2}-60x+52=0$$\Leftrightarrow (x^{2}-3x+2)(x^{2}+9x+26)=0$$\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} x=1\Rightarrow y=-\frac{1}{3}\\ x=2\Rightarrow y=-\frac{1}{2}\end{matrix}} \right.$3, với $x\geq 5, y\geq 0$hệ $\Leftrightarrow \begin{cases}x\sqrt{x}-8\sqrt{y}=\sqrt{x}+y\sqrt{y} (1) \\ y=x-5 (2) \end{cases}$thay (2) vào (1) ta được(1) $\Leftrightarrow x\sqrt{x}-8\sqrt{x-5}-\sqrt{x}-(x-5)\sqrt{x-5}=0$$\Leftrightarrow (x-1)\sqrt{x}=(x+3)\sqrt{x-5}$$\Leftrightarrow (x-1)^{2}x=(x-5)(x+3)^{2}$$\Leftrightarrow 3x^{2}-22x-45=0$$\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} x=9(tm)\\ x=-\frac{5}{3} (loại) \end{matrix}} \right.$vậy (x;y)=(9;4) là nghiệm duy nhất của hệ.

dễ thấy $x=-1$ $x=3$ và $x\geq 0$ không phải nghiệm phương trình. với $-1< x< 0$.áp dụng bunhiacopxki cho vế trái ta được:$VT^{2}\leq (x^{2}+1)(x+1+3-x)=4(x^{2}+1)$$\Rightarrow VT=-2\sqrt{x^{2}+1}\leq VP\leq 2\sqrt{x^{2}+1}$mà $VT=VP\Rightarrow$ dấu bằng xảy ra. hay $\frac{x}{\sqrt{x+1}}=\frac{1}{\sqrt{3-x}} (*)$(*) vô nghiệm với điều kiện trên.vậy phương trình vô nghiệm.

dễ thấy $x=-1$ $x=3$ và $x\geq 0$ không phải nghiệm phương trình. với $-1< x< 0$.áp dụng bunhiacopxki cho vế trái ta được:$VT^{2}\leq (x^{2}+1)(x+1+3-x)=4(x^{2}+1)$$\Rightarrow VT=-2\sqrt{x^{2}+1}\leq VP\leq 2\sqrt{x^{2}+1}$mà $VT=VP\Rightarrow$ dấu bằng xảy ra. hay $\frac{x}{\sqrt{x+1}}=\frac{1}{\sqrt{3-x}} (*)$(*) vô nghiệm với điều kiện x&lt;0.vậy phương trình vô nghiệm.