Dễ thấy pt có nghiệm $(x;y;z)=(0;0;0)$. Ta sẽ cm đây là nghiệm duy nhất của pt
Giả sử pt có nghiệm $(x_{1};y_{1};z_{1})$ là nghiệm có giá trị nhỏ nhất khác nghiệm cơ bản
$\Rightarrow x_{1}^3-2y_{1}^3=4z_{1}^3 \Rightarrow x_{1}$ chia hết cho 2
Đặt $x_{1}=2x_{2}.Pttt:4x_{2}^3-y_{1}^3=2z_{1}^3\Rightarrow y_{1}$ chia hết cho 2
Đặt $y_{1}=2y_{2}.Pttt:2x_{2}^3-4y_{2}^3=z_{1}^3\Rightarrow z_{1}$ chia hết cho 2
Đặt $z_{1}=2z_{2}.Pttt:x_{2}^3-2y_{2}^3=4z_{2}^3\Rightarrow (x_{2};y_{2};z_{2})$ là một nghiệm nhỏ hơn $(x_{1};y_{1};z_{1})$ của pt $\Rightarrow $ Giả sử sai $\Rightarrow $ Pt có nghiệm duy nhất $(x;y;z)=(0;0;0)$