2/a/
+$\begin{cases}2\overrightarrow{DF}=\overrightarrow{DD'} \\ 2\overrightarrow{GF}=\overrightarrow{GC'} \end{cases}\Rightarrow \begin{cases}\overrightarrow{FD}=\frac{1}{3}\overrightarrow{FD'} \\ \overrightarrow{FG}=\frac{1}{3}\overrightarrow{FC'} \end{cases}$
$\Rightarrow DG//D'C'$mặt khác $DC//D'C'$ nên G$\in DC$ hay E,G,H đồng phẳng (1)
+$DE//HC \Rightarrow \triangle DEG'\sim \triangle CHG'$ với $G'=EH\cap DC $
$\frac{DE}{CH}=\frac{DG'}{CG'}=\frac{EG'}{HG'}$ mặt khác $\frac{DE}{CH}=\frac{\frac{DA}{3}}{\frac{2}{3}BC}=\frac{1}{2}$
$\Rightarrow 2DG'=CG'$                                                                                                     (2)
$(1)\Rightarrow  \triangle FDG\sim \triangle FD'C''$
$\Rightarrow \frac{DG}{D'C'}=\frac{FG}{FC'}=\frac{1}{3}\Rightarrow 3DG=D'C'$ hay $2DG=CG$                     (3)
$(2)(3)=> G\equiv G'\Rightarrow E,G,H$ thẳng hàng (đpcm)
 

Câu 1/a/
+$\overrightarrow{PA}=k\overrightarrow{PD}$
$\Leftrightarrow \overrightarrow{PD}+\overrightarrow{DA}=k\overrightarrow{PD}$
$\Leftrightarrow\overrightarrow{DA}=(k-1)\overrightarrow{PD}\Rightarrow \overrightarrow{AD}=(k-1)\overrightarrow{DP}$ 
Tương tự  $\overrightarrow{BC}=(k-1)\overrightarrow{CQ}\Rightarrow \overrightarrow{BC}=(1-k)\overrightarrow{QC}$                   (1)
 +$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QB}$
 Tương tự $\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{DP}+\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QC}$
$\Rightarrow \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{PD}+\overrightarrow{QB}+\overrightarrow{CQ}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}$        (2)
+ $\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{PD}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CQ}$
 $\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BQ}$
$\Rightarrow 2 \overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{PD}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CQ}+\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BQ}$                   (3)
+ $\overrightarrow{PD}+\overrightarrow{CQ}+\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{BQ}$
$=\overrightarrow{PD}+k\overrightarrow{PD}-(\overrightarrow{QC}+k\overrightarrow{QC})$ 
$=(k+1)\overrightarrow{PD}-(k+1)\overrightarrow{QC}$                                                             (4)
$(1)(2)(4)\Rightarrow(4)= \frac{k+1}{1-k}\overrightarrow{PD}+\frac{k+1}{1-k}\overrightarrow{CB}=\frac{k+1}{1-k}(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DC})$                    (5)
Từ (3)(5) => $2\overrightarrow{PQ}=\frac{k+1}{1-k}(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DC})+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}$
$=\overrightarrow{PQ}=\frac{1}{1-k}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC})$ 
b/
Cho I thuộc BD s/c : $\overrightarrow{IB}=k\overrightarrow{ID}$ 
Ta có $\frac{\overrightarrow{PA}}{\overrightarrow{IB}}=\frac{\overrightarrow{PD}}{\overrightarrow{ID}}\Rightarrow \overrightarrow{PI}}//{\overrightarrow{AB}$ 
$\Rightarrow {\overrightarrow{AB}//(PQI)}\Rightarrow \overrightarrow{AB}//\overrightarrow{PQ}$ => $\overrightarrow{PQ}$// mp chứa $\overrightarrow{AB}$

2/
a/$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}$
$\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{d}-\overrightarrow{c}$
$\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{d}$
b/
$\overrightarrow{DM}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{DC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}$
$=(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AC})+\frac{1}{2}(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB})$ 
$=\frac{1}{2}\overrightarrow{b} +\frac{1}{2}\overrightarrow{c}-\overrightarrow{d}$ 
c/
$3\overrightarrow{AG}=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BG})+(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CG})+(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DG})$ 
$\Leftrightarrow 3\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d}$ 
$\Rightarrow \overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d})$  

1/
$\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SC}=(\overrightarrow{SG}+\overrightarrow{GA})+(\overrightarrow{SG}+\overrightarrow{GB})+(\overrightarrow{SG}+\overrightarrow{GC})$ 
$\Leftrightarrow \overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SB}+(\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{BC})=3\overrightarrow{SG}$
$\Leftrightarrow \overrightarrow{SA}=3\overrightarrow{c}-2\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$ 

$x^5+y^5=(x+y)(x^4-x^3y-xy^3+x^2y^2+y^4)=[(x^2+y^2)^2-x^2y^2-xy(x^2+y^2)]=(x+y)(1-x^2y^2-xy)$
$x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)=(x+y)[(x^2+y^2)-xy)=(x+y)(1-xy)$ 
VT=$|16(x+y)( 1-x^2y^2-xy)-20(x+y)(1-xy)+5(x+y)|$
=$|(x+y)(16-16x^2y^2-16xy-20+20xy+5)|$
=$|(x+y)(-16x^2y^2+4xy+1)|$ (1)
Theo gt $x^2+y^2=1\Leftrightarrow (x+y)^2-2xy=1\Rightarrow \frac{(x+y)^2-1}{2}=xy$ 
Đặt t=x+y ($-\sqrt{2}\leq t\leq \sqrt{2}$)  
 (1)=$|t(-16(\frac{t^2-1}{2})^2+4\frac{t^2-1}{2}+1)|$
=$|-4t^5+10t^3-5t|$ 
Xét $ f(t)=-4t^5+10t^3-5t$ ($-\sqrt{2}\leq t\leq \sqrt{2}$) 
$f'(t)=-20t^4+30t^2-5=-5[(2t^2-\frac{3}{2})^2+\frac{11}{4}]<0 \forall t$ 
$\Rightarrow $hs nghịch biến

$t                 -\sqrt{2}                0               \sqrt{2} $
$f'(t)         |                          -                  |$
$.                     |\sqrt{2}                                             |$
$.                     |                             0                        |$
$f(t)          |                                    -\sqrt{2} |$
$f(t)\in [-\sqrt{2} ;\sqrt{2}]\Rightarrow |(x+y)(-16x^2y^2+4xy+1)|\in [0;\sqrt{2}]$
$\Rightarrow |16(x+y)( 1-x^2y^2-xy)-20(x+y)(1-xy)+5(x+y)|\leq \sqrt{2}$(đpcm)
 

Hoặc dùng BĐT
$x^2+2-(\sqrt{1+2x}+\sqrt{1-2x})\geq 2-(\sqrt{(1^2+1^2)(1+2x+1-2x)})=0 $
Dấu = xảy ra khi x=0
vậy x=0 là nghiệm 

Đk : $\begin{cases}1-2x\geq 0\\ 1+2x\geq 0\end{cases}\Leftrightarrow [\frac{-1}{2};\frac{1}{2}]$
$f(x)=x^2+\sqrt{1-2x}+\sqrt{1+2x}-2\geq 0$ 
$f'(x)=2x-\frac{1}{\sqrt{1-2x}}+\frac{1}{\sqrt{1+2x}}$ 
+$x\in [\frac{-1}{2};0)\Rightarrow f'(x)>0\Rightarrow $ hs tăng (-1/2;0)
+$x\in [0;\frac{-1}{2})\Rightarrow f'(x)<0\Rightarrow $ hs giảm (0;1/2) 
$Max_{f(x)}=0$ đạt được khi x=0
Vậy pt$ f(x)\geq 0 $có 1 ng duy nhất x=0 

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$f(x)=64x^4-96x^3+36x^2-3$
f(x) liên tục trong khoảng$ (\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2};\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}}{2})$ 
$f( \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2}).f(\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}}{2})<0$
nên pt có nghiệm thuộc  $(\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2};\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}}{2})$

a/
$3\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}$ 
=$3\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{GD}$ 
=$3(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OG})+(\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD})=0$(đpcm)
b/
$3MA^2+MB^2+MC^2+MD^2$
$=3(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA})^2+(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OB})^2+(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OC})^2+(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OD})^2$ 
$=6MO^2+3OA^2+OB^2+OC^2+OD^2+2\overrightarrow{MO}(3\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD})$ 
$=6MO^2+3OA^2+OB^2+OC^2+OD^2$ (đpcm)
c/
 $k^2=3MA^2+MB^2+MC^2+MD^2$
$\Leftrightarrow k^2=6MO^2+3OA^2+OB^2+OC^2+OD^2$
$\Leftrightarrow k^2=6MO^2+3OA^2+(\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{GB})^2+(\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{GC})^2+(\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{GD})^2$ 
$\Leftrightarrow k^2=6MO^2+3OA^2+3OG^2+2\overrightarrow{OG}(\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD})$
$\Leftrightarrow k^2=6MO^2+3OA^2+3OG^2$ 
$\begin{cases}\overrightarrow{OA}=\frac{1}{2}\overrightarrow{GA} \\ \overrightarrow{OG}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AG} \end{cases}$
$\Rightarrow k^2=6MO^2+\frac{3}{2}AG^2$
$\Leftrightarrow MO^2=\frac{1}{6}(k^2-\frac{3}{2}AG^2)$ 
$+k^2<3/2AG^2 $ Quỹ tích M thuộc rỗng 
$+k^2=3/2AG^2$  Quỹ tích M là O
$+k^2>3/2AG^2$ Quỹ tích M là đường  tròn tâm 0, bán kính R=$\sqrt{\frac{1}{6}(k^2-\frac{3}{2}AG^2)}$

$VP - VT=x^3+y^3+z^3-3xyz$
$=(x+y)^3+z^3-3x^2y-3xy^2-3xyz$
$=(x+y)^3+z^3-3xy(x+y+z)$
$=(x+y+z)^3-3(x+y)^2z-3(x+y)z^2-3xy(x+y+z)$ 
$=(x+y+z)^3-3(x+y)z(x+y+z)-3xy(x+y+z)=0$ 
VP=VT(đpcm) 

$z(x-y)(y-z)\geq0$
$P=x^2y+y^2z+z^2x\leq z(x-y)(y-z)+x^2y+y^2z+z^2x\leq z(x+y)^2=\frac{1}{2}.2.z(x+y)(x+y)\leq \frac{4}{27}$ 

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$\Leftrightarrow (x+2)(x-5)(x+3)(x-6)=180$
$\Leftrightarrow (x^2-3x-10)(x^2-3x-18)=180$
$Đặt t = x^2-3x$
$\Rightarrow (t-10)(t-18)=180$
$\Leftrightarrow t^2-28t=0$
Đến đây dễ rồi bạn làm nốt nhé 

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