Bài 2:
Nhận xét: Tương tự như bài 1, do tính đối xứng thì ta sẽ đưa về biến c. Ở bài toán này ta cũng dùng bất đẳng thức ở mẫu và áp dụng các BĐT phụ sau:
x2+y2≥(x+y)22≥2xy
Lời giải chi tiết:
Áp dụng BĐT Cauchy ta có :
a2(b+c)2+5bc≥a(b+c)2+54(b+c)2=4a29(b+c)2
Tương tự ta cũng có :
b2(c+a)2+5ca≥4b29(c+a)2
Suy ra:
a2(b+c)2+5bc+b2(a+c)2+5ca≥49(a2(b+c)2+b2(c+a)2)
≥29(ab+c+bc+a)2=29(a2+b2+c(a+b)ab+c(a+b)+c2)2
≥29((a+b)22+c(a+b)(a+b)24+c(a+b)+c2)2=29(2(a+b)2+4c(a+b)(a+b)2+4c(a+b)+4c2)2
Vì a+b+c=1⇔a+b=1−c nên
P≥29(2(1−c)2+4c(1−c)(1−c)2+4c(1−c)+4c2)2−34(1−c)2=89(1−2c+1)2−34(1−c)2(1)
Xét hàm số f(c)=89(1−21+c)2−34(1−c)2 với c∈(0;1)
Ta có :
f′(c)=169(1−21+c).2(c+1)2−32(1−c)
f′(c)=0⇔(c−1)(64−(3c+3)3)=0⇔c=13
BBT:
Dự vào BBT ta có : f(c)≥−19 với mọi c∈(0;1)(2)
từ (1) và (2) Suy ra P≥−19 dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a=b=c=13