Ta xét:
$(1+x)^{2n}=C^{0}_{2n}+C^{1}_{2n}x+C^{2}_{2n}x^{2}+...+C^{2n}_{2n}x^{2n} (1)$
$(1-x)^{2n}=C^{0}_{2n}-C^{1}_{2n}x+C^{0}_{2n}x^{2}-...+C^{2n}_{2n}x^{2n} (2)$
Lấy $\frac{(1)+(2)}{2}$ ta được:
$=>C^{0}_{2n}+C^{2}_{2n}x^{2}+C^{4}_{2n}x^{4}+...+C^{2n}_{2n}x^{2n}=\frac{(1+x)^{2n}+(1-x)^{2n}}{2}$
Lấy đạo hàm 2 vế ta được:
$2C^{2}_{2n}x+4C^{2}_{2n}x^{3}+...+2nC^{2n}_{2n}x^{2n}=n[(1+x)^{2n-1}-(1-x)^{2n-1}]$
Với $x=0$ ta được: $2C^{2}_{2n}+4C^{4}_{2n}+...+2nC^{2n}_{2n}=n2^{2n-1}=\frac{n}{2}4^{n}$