Đặt $P(x)=(1+x)^{2n}+(1-x)^{2n}$Khi khai triển theo công thức Newton , các hạng tử chứa lũy thừa lẻ của $x$ sẽ bị triệt tiêu , còn các hạng tử chứa lũy thừa chẵn sẽ xuất hiện hai lần
$P(x)=2(C_0^{2n}+C_2^{2n}x^2+C_4^{2n}x^4+.....+C_{2n}^{2n}x^{2n})$
Chia 2 và đạo hàm hai vế
$\frac{P'(x)}{2}=2C_2^{2n}x+4C_4^{2n}x^3+....+2nC_{2n}^{2n}.x^{2n-1}$
$\frac{P'(x)}{2}=\frac{2n(1+x)^{2n-1}-2n(1-x)^{2n-1}}{2}$
Thay $x=1$ ta có
$2C_2^{2n}+4C_4^{2n}+....+2nC_{2n}^{2n}=\frac{2n.2^{2n-1}}{2}=\frac{n}{2}.4^n$