Chứng minh rằng $\forall n \epsilon N^{*}$ ta có, $2C_{2}^{2n}+4C_{4}^{2n}+...+2nC_{2n}^{2n}=\frac{n}{2}4^{n}$

Question

Chứng minh rằng

$\forall n \epsilon N^{*}$ ta có,

$2C_{2}^{2n}+4C_{4}^{2n}+...+2nC_{2n}^{2n}=\frac{n}{2}4^{n}$

score 0 · Answer 1

Đặt

$P(x)=(1+x)^{2n}+(1-x)^{2n}$

Khi khai triển theo công thức Newton , các hạng tử chứa lũy thừa lẻ của

$x$ sẽ bị triệt tiêu , còn các hạng tử chứa lũy thừa chẵn sẽ xuất hiện hai lần

$P(x)=2(C_0^{2n}+C_2^{2n}x^2+C_4^{2n}x^4+.....+C_{2n}^{2n}x^{2n})$

Chia 2 và đạo hàm hai vế

$\frac{P'(x)}{2}=2C_2^{2n}x+4C_4^{2n}x^3+....+2nC_{2n}^{2n}.x^{2n-1}$

$\frac{P'(x)}{2}=\frac{2n(1+x)^{2n-1}-2n(1-x)^{2n-1}}{2}$

Thay

$x=1$ ta có

$2C_2^{2n}+4C_4^{2n}+....+2nC_{2n}^{2n}=\frac{2n.2^{2n-1}}{2}=\frac{n}{2}.4^n$

phuocthang95 · Answer 2 · 6/18/2013 9:12:08 PM

Ta xét:

$(1+x)^{2n}=C^{0}_{2n}+C^{1}_{2n}x+C^{2}_{2n}x^{2}+...+C^{2n}_{2n}x^{2n} (1)$

$(1-x)^{2n}=C^{0}_{2n}-C^{1}_{2n}x+C^{0}_{2n}x^{2}-...+C^{2n}_{2n}x^{2n} (2)$

Lấy

$\frac{(1)+(2)}{2}$ ta được:

$=>C^{0}_{2n}+C^{2}_{2n}x^{2}+C^{4}_{2n}x^{4}+...+C^{2n}_{2n}x^{2n}=\frac{(1+x)^{2n}+(1-x)^{2n}}{2}$

Lấy đạo hàm 2 vế ta được:

$2C^{2}_{2n}x+4C^{2}_{2n}x^{3}+...+2nC^{2n}_{2n}x^{2n}=n[(1+x)^{2n-1}-(1-x)^{2n-1}]$

Với

$x=0$ ta được:

$2C^{2}_{2n}+4C^{4}_{2n}+...+2nC^{2n}_{2n}=n2^{2n-1}=\frac{n}{2}4^{n}$

Trả lời 18-06-13 09:12 PM

phuocthang95
1

6K 8K

Là ý nói học đạo hàm kìa, còn 11 chỉ học cách lấy đạo hàm thôi, chưa có áp dụng vào giải toán – iamshant1207 19-06-13 12:45 PM

thầy nói cái này học rồi hồi 11 hay 10 gì đó! – phuocthang95 19-06-13 12:32 PM

thầy chưa dạy mờ làm cái này sao đc =.= 12 mới học – iamshant1207 19-06-13 12:20 PM

lấy đạo hàm bình thường như lấy của x thôi coi cái C như ko tồn tại. – phuocthang95 19-06-13 12:19 PM

ờh...mà đạo hàm cái nì chưa có dạy – iamshant1207 19-06-13 12:15 PM

2 Đáp án