Ta xét:
(1+x)2n=C02n+C12nx+C22nx2+...+C2n2nx2n(1)(1−x)2n=C02n−C12nx+C02nx2−...+C2n2nx2n(2)
Lấy (1)+(2)2 ta được:
=>C02n+C22nx2+C42nx4+...+C2n2nx2n=(1+x)2n+(1−x)2n2
Lấy đạo hàm 2 vế ta được:
2C22nx+4C22nx3+...+2nC2n2nx2n=n[(1+x)2n−1−(1−x)2n−1]
Với x=0 ta được: 2C22n+4C42n+...+2nC2n2n=n22n−1=n24n