Bđt $\Leftrightarrow \frac{\sum xy}{x+z} \geq \frac{y^{2}+yz+z^{2}}{y+z} $ $\Leftrightarrow \frac{\sum xy}{x+z}-y \geq \frac{y^{2}+yz+z^{2}}{y+z}$$\Leftrightarrow zx(y+z)-z^{2}(x+z)\geq 0$$\Leftrightarrow z(xy-z^{2}) \geq 0 \rightarrow (đúng ) (x\geq y\geq z\geq 0)$Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z$ hoặc $x=y,z=0$

Bđt $\Leftrightarrow \frac{\sum xy}{x+z} \geq \frac{y^{2}+yz+z^{2}}{y+z} $ $\Leftrightarrow \frac{\sum xy}{x+z}-y \geq \frac{y^{2}+yz+z^{2}}{y+z}-y$$\Leftrightarrow zx(y+z)-z^{2}(x+z)\geq 0$$\Leftrightarrow z(xy-z^{2}) \geq 0 \rightarrow (đúng ) (x\geq y\geq z\geq 0)$Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z$ hoặc $x=y,z=0$

toán 10

1.cho phương trình đường tròn: x2 +y2- 4x+ 6y- 12=0 và D(1;1). a) viết pt đường thẳng đi qua D và cắt đường tròn tại 2 điểm phân biệt A,B sao cho A,B đạt GTLNb)-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- GTNN2.(Đại số 10) cách tìm điều kiện để biểu thức không đổi dấu( tam thức bậc hai luôn âm hoặc luôn dương)mn giúp mh cách làm nhanh mà dễ hiểu với ạ

Phương trình đường tròn

toán 10

1.cho phương trình đường tròn: x2 +y2- 4x+ 6y- 12=0 và D(1;1). a) viết pt đường thẳng đi qua D và cắt đường tròn tại 2 điểm phân biệt A,B sao cho AB đạt GTLNb)-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- GTNN2.(Đại số 10) cách tìm điều kiện để biểu thức không đổi dấu( tam thức bậc hai luôn âm hoặc luôn dương)mn giúp mh cách làm nhanh mà dễ hiểu với ạ

Phương trình đường tròn

Giúp mình giải hệ này với xin cảm ơn!

\begin{cases}x\times \left ( \sqrt{xy-2x^{2}}+\sqrt{4x^{2}-xy} \right )= 1\\ 2y^{2}-5xy -x^{2}= 1\end{cases}

Hệ phương trình

Giúp mình giải hệ này với xin cảm ơn!

Giải hệ phương trình : $\begin{cases}x\times \left ( \sqrt{xy-2x^{2}}+\sqrt{4x^{2}-xy} \right )= 1\\ 2y^{2}-5xy -x^{2}= 1\end{cases} $

Hệ phương trình

Từ gthiêt suy ra: $ac+a.\frac{1}{b}+c.\frac{1}{b}=1$suy ra tồn tại $\Delta ABC$ sao cho $a=tan\frac{A}{2};\frac{1}{b}=tan\frac{B}{2};c=tan\frac{C}{2}$Khi đó:$P=2.cos^2\frac{A}{2}-2sin^2$$\frac{B}{2}+3cos^2\frac{C}{2}$$P=cosA+cosB+3-3sin^2\frac{C}{2}$ $=2sin\frac{C}{2}.cos\frac{A-B}{2}+3-sin^2\frac{C}{2}$ $=\frac{10}{3}-3(sin\frac{C}{2}-\frac{1}{3}.cos\frac{A-B}{2})^2-\frac{1}{3}.cos^2\frac{A-B}{2}\leq \frac{10}{3}$Vậy max$P=\frac{10}{3}$ khi $a= \frac{1}{\sqrt{2}};b=\sqrt{2};c=\frac{1}{2\sqrt{2}}$

Từ gthiêt suy ra: $ac+a.\frac{1}{b}+c.\frac{1}{b}=1$suy ra tồn tại $\Delta ABC$ sao cho $a=tan\frac{A}{2};\frac{1}{b}=tan\frac{B}{2};c=tan\frac{C}{2}$Khi đó:$P=2.cos^2\frac{A}{2}-2sin^2$$\frac{B}{2}+3cos^2\frac{C}{2}$$P=cosA+cosB+3-3sin^2\frac{C}{2}$ $=2sin\frac{C}{2}.cos\frac{A-B}{2}+3-3sin^2\frac{C}{2}$ $=3-3(sin\frac{C}{2}-\frac{1}{3}.cos\frac{A-B}{2})^2+\frac{1}{3}.cos^2\frac{A-B}{2}\leq \frac{10}{3}$Vậy max$P=\frac{10}{3}$ khi $a= \frac{1}{\sqrt{2}};b=\sqrt{2};c=\frac{1}{2\sqrt{2}}$P/s : Tui chỉnh nv k chắc :D nếu như của bà thì nó ra $ \leq 3$

Đạo con nhà bà hàm đây ( Tìm hiểu thêm ) :D : Tg tự CM đc : $P \geq \sqrt{(x+y+z)^{2}+\frac{81}{(x+y+z)^{2}}}$Xét hàm : $f(t)=t^{2}+\frac{81}{t}$ $(t=(x+y+z)^{2} \in (0;1])$ $\Rightarrow f'(t)=1-\frac{81}{t^{2}}$ Lập bảng biến thiên : $\Rightarrow Min f(t)=82 $ $( t\in (0;1])$ $\Rightarrow Min P =\sqrt{Min(t)}$ $(0

Đạo con nhà bà hàm đây ( Tìm hiểu thêm ) :D : Tg tự CM đc : $P \geq \sqrt{(x+y+z)^{2}+\frac{81}{(x+y+z)^{2}}}$Xét hàm : $f(t)=t^{2}+\frac{81}{t}$ $(t=(x+y+z)^{2} \in (0;1])$ $\Rightarrow f'(t)=1-\frac{81}{t^{2}}$ Lập bảng biến thiên : $\Rightarrow Min f(t)=82 $ $( t\in (0;1])$$\Rightarrow Min P= \sqrt{Mìnf(t)}=\sqrt{82}$ $(0<t \leq 1)$

Đạo con nhà bà hàm đây ( Tìm hiểu thêm ) :D : Tg tự CM đc : $P \geq \sqrt{(x+y+z)^{2}+\frac{81}{(x+y+z)^{2}}}$Xét hàm : $f(t)=t^{2}+\frac{81}{t}$ $(t=(x+y+z)^{2} \in (0;1])$ $\Rightarrow f'(t)=1-\frac{81}{t^{2}}$ Lập bảng biến thiên [ kn e up ] $\Rightarrow Min f(t)=82 $ $( t\in (0;1])$ $\Rightarrow Min P =\sqrt{Min(t)}$ $(0<t \leq 1)$$=\sqrt{82}$

Đạo con nhà bà hàm đây ( Tìm hiểu thêm ) :D : Tg tự CM đc : $P \geq \sqrt{(x+y+z)^{2}+\frac{81}{(x+y+z)^{2}}}$Xét hàm : $f(t)=t^{2}+\frac{81}{t}$ $(t=(x+y+z)^{2} \in (0;1])$ $\Rightarrow f'(t)=1-\frac{81}{t^{2}}$ Lập bảng biến thiên : $\Rightarrow Min f(t)=82 $ $( t\in (0;1])$ $\Rightarrow Min P =\sqrt{Min(t)}$ $(0

Đặt $t=2z$Khi đó: Ta quy về bài toán. Cho $x+y+t=3$. Tìm min: $P=x^2+y^2+t^2+\frac{xy+yt+tx}{x^2y+y^2t+t^2x}$Ta có: $x^3+xy^2\ge 2x^2y$ $y^3+yt^2\ge 2y^2t$ $t^3+tx^2\ge 2t^2x$$=>x^3+y^3+t^3+xy^2+yt^2+tx^2\ge 2x^2y+2y^2t+2t^2x$$\iff (x+y+t)(x^2+y^2+t^2)\ge 3(x^2y+y^2t+t^2x)$Mà $x+y+t=3=>x^2+y^2+t^2\ge x^2y+y^2t+t^2x$Khi đó: $P\ge x^2+y^2+t^2+\frac{xy+yt+tx}{x^2+y^2+t^2}=a+\frac{9-a}{2a}$ (với $a=x^2+y^2+t^2\ge \frac{1}{3}(x+y+t)^2=3$)Mặt khác $(a+\frac{18}{2a})-\frac{9}{2a}-\frac{1}{2}\ge 2\sqrt{a*\frac{18}{2a}}-\frac{9}{2*3}-\frac{1}{2}=4$Vậy $MinP=4$. Dấu = xảy ra khi $x=y=1,z=\frac{1}{2}$

Đặt $t=2z$Khi đó: Ta quy về bài toán. Cho $x+y+t=3$. Tìm min: $P=x^2+y^2+t^2+\frac{xy+yt+tx}{x^2y+y^2t+t^2x}$Ta có: $x^3+xy^2\ge 2x^2y$ $y^3+yt^2\ge 2y^2t$ $t^3+tx^2\ge 2t^2x$$=>x^3+y^3+t^3+xy^2+yt^2+tx^2\ge 2x^2y+2y^2t+2t^2x$$\iff (x+y+t)(x^2+y^2+t^2)\ge 3(x^2y+y^2t+t^2x)$Mà $x+y+t=3=>x^2+y^2+t^2\ge x^2y+y^2t+t^2x$Khi đó: $P\ge x^2+y^2+t^2+\frac{xy+yt+tx}{x^2+y^2+t^2}=a+\frac{9-a}{2a}$ (với $a=x^2+y^2+t^2\ge \frac{1}{3}(x+y+t)^2=3$)Mặt khác $(a+\frac{18}{2a})-\frac{9}{2a}-\frac{1}{2}\ge 2\sqrt{a.\frac{18}{2a}}-\frac{9}{2.3}-\frac{1}{2}=4$Vậy $MinP=4$. Dấu = xảy ra khi $x=y=1,z=\frac{1}{2}$

Hai phút đầu rán được 2 lát bánh mì, 2 phút sau rán được 2 lát bánh tiếp. Một lát còn lại cần 2 phút để rán xong.Vậy cần ít nhất số phút để rán xong 5 lát bánh mì là:2 + 2 + 2 = 6 (phút)Đ/s: 6 phútP/s:gg hân hạnh là nhà tài trợ cho chg trình này*

ĐA : 5 phút

ĐA : 5 phút

Hai phút đầu rán được 2 lát bánh mì, 2 phút sau rán được 2 lát bánh tiếp. Một lát còn lại cần 2 phút để rán xong.Vậy cần ít nhất số phút để rán xong 5 lát bánh mì là:2 + 2 + 2 = 6 (phút)Đ/s: 6 phútP/s:gg hân hạnh là nhà tài trợ cho chg trình này*

Cách 2 : Với mỗi $y,z$ cố định $\in [0;1]$ , xét hàm số biến x : $F(x)=\frac{x}{y+z+1}+\frac{y}{z+x+1}+ \frac{z}{x+y+1}+(1-x)(1-y)(1-z) , 0 \leq x \leq 1$Có : $F'(x)= \frac{1}{y+z+1}-\frac{y}{(z+x+1)^{2}}- \frac{z}{(x+y+1)^{2}}-(1-y)(1-z)$$=> F''(x)= \frac{2y}{(z+x+1)^{2}}+ \frac{2z}{(x+y+1)^{2}} \geq 0 $ (do y,z >=0 )=> F''(x) là hàm đồng biến khi $o \leq x\leq 1$=> 3 TH : TH 1 : Nếu $F'(x) >=0 \forall 0\leq x \leq 1$ . Khi đó F(x) là hàm đồng biến trên $0 \leq x \leq 1$ , $=> \forall 0\leq x \leq 1$ , ta có : $F(x) \leq F(1) = \frac{1}{y+z+1}+ \frac{y}{z+1+1}+ \frac{z}{1+y+1} \leq \frac{1+y+z}{y+z+1}=1 ( do y \leq 1; z \leq 1)$TH2 : Nếu $F'(x) \leq 0 \forall 0\leq x\leq 1$ Khi đó F(x) là hàm nb trên $0= Ta có : $F(x) \leq F(0) =\frac{y}{z+1}+ \frac{z}{y+1}+(1-y)(1-z)= \frac{1+y+z+y^{2}z^{2}}{1+y+z+yz}$Do : $y^{2}z^{2} \leq yz $ và $y,z \in [0;1]=>F(x) \leq 1 \forall x \in [0;1]$TH3 : Nếu F'(x) có dấu thay đổi trên $[0;1]$ . Do $F'(x) $ là hàm đb trên $[0;1]$ Và : $F(0) \leq 1 ; F(1) \leq 1=> F(x) \leq 1 \forall 0\leq x\leq 1$ALL=> luôn có : $P \leq 1$Vậy Max P = 1

Cách 2 : Với mỗi $y,z$ cố định $\in [0;1]$ , xét hàm số biến x : $F(x)=\frac{x}{y+z+1}+\frac{y}{z+x+1}+ \frac{z}{x+y+1}+(1-x)(1-y)(1-z) , 0 \leq x \leq 1$Có : $F'(x)= \frac{1}{y+z+1}-\frac{y}{(z+x+1)^{2}}- \frac{z}{(x+y+1)^{2}}-(1-y)(1-z)$$=> F''(x)= \frac{2y}{(z+x+1)^{2}}+ \frac{2z}{(x+y+1)^{2}} \geq 0 $ (do y,z >=0 )=> F''(x) là hàm đồng biến khi $o \leq x\leq 1$=> 3 TH : TH 1 : Nếu $F'(x) >=0 \forall 0\leq x \leq 1$ . Khi đó F(x) là hàm đồng biến trên $0 \leq x \leq 1$ , $=> \forall 0\leq x \leq 1$ , ta có : $F(x) \leq F(1) = \frac{1}{y+z+1}+ \frac{y}{z+1+1}+ \frac{z}{1+y+1} \leq \frac{1+y+z}{y+z+1}=1 ( do y \leq 1; z \leq 1)$TH2 : Nếu $F'(x) \leq 0 \forall 0\leq x\leq 1$ Khi đó F(x) là hàm nb trên $0= Ta có : $F(x) \leq F(0) =\frac{y}{z+1}+ \frac{z}{y+1}+(1-y)(1-z)= \frac{1+y+z+y^{2}z^{2}}{1+y+z+yz}$Do : $y^{2}z^{2} \leq yz $ và $y,z \in [0;1]=>F(x) \leq 1 \forall x \in [0;1]$TH3 : Nếu F'(x) có dấu thay đổi trên $[0;1]$ . Do $F'(x) $ là hàm đb trên $[0;1]$ Và : $F(0) \leq 1 ; F(1) \leq 1=> F(x) \leq 1 \forall 0\leq x\leq 1$ALL=> luôn có : $P \leq 1$Vậy Max P = 1Bài toán tổng quát : Cho $0\leq a_{i} \leq 1 , i=1,2,...,n$ . Chứng minh rằng : $\frac{a_{1}}{S-a_{1}+1}+ \frac{a_{2}}{S-a_{2}+1}+...+ \frac{a_{n}}{S-a_{n}+1}+ (1-a_{1})(1-a_{2})...(1-a_{n}) \leq 1$Với : $S=a_{1}+a_{2}+...+a_{n}$

cần gấp m.n làm giúp vs

Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác chứng minh rằng $\frac{3}{2} < \sqrt{\frac{a}{b+c}} +\sqrt{\frac{b}{a+c}} +\sqrt{\frac{c}{a+b} < \frac{4\pi }{5}

Bất phương trình lượng giác

Bất đẳng thức

cần gấp m.n làm giúp vs

Cho $a,b,c$ là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác chứng minh rằng $\frac{3}{2} < \sqrt{\frac{a}{b+c}} +\sqrt{\frac{b}{a+c}} +\sqrt{\frac{c}{a+b}} < \frac{4 }{5}$

Bất phương trình lượng giác

Bất đẳng thức

Từ gthiêt suy ra: $ac+a.\frac{1}{b}+c.\frac{1}{b}=1$suy ra tồn tại $\Delta ABC$ sao cho $a=tan\frac{A}{2};\frac{1}{b}=tan\frac{B}{2};c=tan\frac{C}{2}$Khi đó:$P=2.cos^2\frac{A}{2}-2sin^2$$\frac{B}{2}+3cos^2\frac{C}{2}$$P=cosA+cosB+3-3sin^2\frac{C}{2}$ $=2sin\frac{C}{2}.cos\frac{A-B}{2}+3-sin^2\frac{C}{2}$ $=\frac{10}{3}-3(sin\frac{C}{2}-\frac{1}{3}.cos\frac{A-B}{2})^2-\frac{1}{3}.cos^2\frac{A-B}{2}\leq \frac{10}{3}$Vậy max$P=\frac{10}{3}$ khi.....

Từ gthiêt suy ra: $ac+a.\frac{1}{b}+c.\frac{1}{b}=1$suy ra tồn tại $\Delta ABC$ sao cho $a=tan\frac{A}{2};\frac{1}{b}=tan\frac{B}{2};c=tan\frac{C}{2}$Khi đó:$P=2.cos^2\frac{A}{2}-2sin^2$$\frac{B}{2}+3cos^2\frac{C}{2}$$P=cosA+cosB+3-3sin^2\frac{C}{2}$ $=2sin\frac{C}{2}.cos\frac{A-B}{2}+3-sin^2\frac{C}{2}$ $=\frac{10}{3}-3(sin\frac{C}{2}-\frac{1}{3}.cos\frac{A-B}{2})^2-\frac{1}{3}.cos^2\frac{A-B}{2}\leq \frac{10}{3}$Vậy max$P=\frac{10}{3}$ khi $a= \frac{1}{\sqrt{2}};b=\sqrt{2};c=\frac{1}{2\sqrt{2}}$

Từ gthiêt suy ra: $ac+a.\frac{1}{b}+c.\frac{1}{b}=1$suy ra tồn tại $\Delta ABC$ sao cho $a=tan\frac{A}{2};\frac{1}{b}=tan\frac{B}{2};c=tan\frac{C}{2}$Khi đó:$P=2.cos^2\frac{2}{2}-2sin^2$$\frac{B}{2}+3cos^2\frac{C}{2}$$P=cosA+cosB+3-3sin^2\frac{C}{2}$ $=2sin\frac{C}{2}.cos\frac{A-B}{2}+3-sin^2\frac{C}{2}$ $=\frac{10}{3}-3(sin\frac{C}{2}-\frac{1}{3}.cos\frac{A-B}{2})^2-\frac{1}{3}.cos^2\frac{A-B}{2}\leq \frac{10}{3}$Vậy max$P=\frac{10}{3}$ khi.....

Từ gthiêt suy ra: $ac+a.\frac{1}{b}+c.\frac{1}{b}=1$suy ra tồn tại $\Delta ABC$ sao cho $a=tan\frac{A}{2};\frac{1}{b}=tan\frac{B}{2};c=tan\frac{C}{2}$Khi đó:$P=2.cos^2\frac{A}{2}-2sin^2$$\frac{B}{2}+3cos^2\frac{C}{2}$$P=cosA+cosB+3-3sin^2\frac{C}{2}$ $=2sin\frac{C}{2}.cos\frac{A-B}{2}+3-sin^2\frac{C}{2}$ $=\frac{10}{3}-3(sin\frac{C}{2}-\frac{1}{3}.cos\frac{A-B}{2})^2-\frac{1}{3}.cos^2\frac{A-B}{2}\leq \frac{10}{3}$Vậy max$P=\frac{10}{3}$ khi.....