Giải thử xem đúng không nhé! Không đúng đừng spam đấy!Đặt vế trái là P ta có : $P=\sum \frac{a^2+3b^2}{a+3b}=\sum (\frac{3}{4}a+\frac{1}{4}b+\frac{(a-b)^2}{a+3b}) $$P=a+b+c+\sum \frac{(a-b)^2}{a+3b} $.Cần chứng minh : $P=a+b+c+\sum\frac{(a-b)^2}{a+3b} \geq 3 $Giả sử tồn tại $m>0$ sao cho $a+3b< m(a+b+c) \Rightarrow \frac{(a-b)^2}{a+3b} \geq \frac{(a-b)^2}{m(a+b+c)} $Tương tự cho 3 phân thức còn lại ta có : $\sum \frac{a^2+3b^2}{a+3b} \geq \frac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{m(a+b+c)} $Ta có : $a+b+c+\sum \frac{(a-b)^2}{a+3b} \geq a+b+c+\frac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{m.(a+b+c)}=A$ Cần chứng minh $A \geq 3 \Leftrightarrow a+b+c+............... \geq 3$.$\Leftrightarrow m(a+b+c)^2+2(a^2+b^2+c^2)-2(ab+bc+ca)\geq 3m (a+b+c)$$\Leftrightarrow (2+m)(a^2+b^2+c^2)+(2m-2)(ab+ac+bc)\geq 3m(a+b+c)$ $(*)$Lại có $a+b+c \leq \sqrt{3(a^2+b^2+c^2)} =3 \Rightarrow 3m(a+b+c) \leq 9m$Cần chứng minh $(2+m).3+(2m-2)(ab+bc+ca)\geq 9m \Leftrightarrow (2m-2)(ab+ac+bc) \geq 6m-6$$\Leftrightarrow ab+ac+bc \geq 3\Rightarrow ab+ac+bc \geq a^2+b^2+c^2$ $??????????$Sao lại ra sai nhỉ ???? Ai biết tại sao không vậy????Bất đẳng thức tổng quát sau có đúng không nhỉ???? Cho $a,b,c>0$ và $a^2+b^2+c^2=k$. Chứng minh rằng : $$\sum \frac{a^2+kb^2}{a+kb} \geq k $$

Giải thử xem đúng không nhé! Không đúng đừng spam đấy!Đặt vế trái là P ta có : $P=\sum \frac{a^2+3b^2}{a+3b}=\sum (\frac{1}{4}a+\frac{3}{4}b+\frac{3}{4}.\frac{(a-b)^2}{a+3b}) $$P=a+b+c+\sum \frac{(a-b)^2}{a+3b} $.Cần chứng minh : $P=a+b+c+\frac{3}{4}. \sum\frac{(a-b)^2}{a+3b} \geq 3 $Giả sử tồn tại $m>0$ sao cho $a+3b< m(a+b+c) \Rightarrow \frac{(a-b)^2}{a+3b} \geq \frac{(a-b)^2}{m(a+b+c)} $Tương tự cho 3 phân thức còn lại ta có : $ \frac{3}{4}.\sum \frac{a^2+3b^2}{a+3b} \geq \frac{3}{4}.\frac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{m(a+b+c)} $Ta có : $a+b+c+\frac{3}{4}.\sum \frac{(a-b)^2}{a+3b} \geq a+b+c+\frac{3}{4}.\frac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{m.(a+b+c)}=A$ Cần chứng minh $A \geq 3 \Leftrightarrow a+b+c+............... \geq 3$.$\Leftrightarrow m(a+b+c)^2+\frac{3}{2}.(a^2+b^2+c^2)-\frac{3}{2}.(ab+bc+ca)\geq 3m (a+b+c)$$\Leftrightarrow (\frac{3}{2}+m)(a^2+b^2+c^2)+(2m-\frac{3}{2})(ab+ac+bc)\geq 3m(a+b+c)$ $(*)$Lại có $a+b+c \leq \sqrt{3(a^2+b^2+c^2)} =3 \Rightarrow 3m(a+b+c) \leq 9m$Cần chứng minh $(\frac{3}{2}+m).3+(2m-\frac{3}{2})(ab+bc+ca)\geq 9m \Leftrightarrow (2m-\frac{3}{2})(ab+ac+bc) \geq 6m-\frac{9}{2}$$\Leftrightarrow ab+ac+bc \geq 3\Rightarrow ab+ac+bc \geq a^2+b^2+c^2$ $??????????$Sao lại ra sai nhỉ ???? Ai biết tại sao không vậy????Bất đẳng thức tổng quát sau có đúng không nhỉ???? Cho $a,b,c>0$ và $a^2+b^2+c^2=k$. Chứng minh rằng : $$\sum \frac{a^2+kb^2}{a+kb} \geq k $$