Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$ ta có :
$VT\geq \frac{9}{a+b+c}+\frac{6\sqrt{2}}{a^2+b^2+c^2}\geq \frac{9}{\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}}+\frac{6\sqrt{2}}{a^2+b^2+c^2}$
Bây giờ chỉ cần chứng minh : $\frac{9}{\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}}+\frac{6\sqrt{2}}{a^2+b^2+c^2}\geq 3+2\sqrt{2}$
Đặt $t=\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}\geq a+b+c\Rightarrow t\geq 3$
BĐT cần chứng minh $\Leftrightarrow \frac{9}{t}+\frac{18\sqrt{2}}{t^2}\geq 3+2\sqrt{2}\Leftrightarrow (3+2\sqrt{2})t^2-9t+18\sqrt{2}\geq 0$
$\Leftrightarrow (t-3)[(3+2\sqrt{2})t+6\sqrt{2}]\geq 0$ (đúng do $t\geq 3$)
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1
P/s: Chả biết có làm đúng ko nữa!!! Có j sai xót thì chỉ giáo giúp nhé!!!