Biến đổi chút nhé:
BĐT $\Leftrightarrow \sum (\sqrt{x^2+3}-x) \geq 3\Leftrightarrow \sum\frac{3}{\sqrt{x^2+3}+x} \geq 3 $
$\Leftrightarrow \sum \frac{1}{\sqrt{(x+y)(x+z)}+x} \geq 1 \Leftrightarrow \sum \frac{\frac{1}{x}}{\sqrt{(1+\frac{y}{x}).(1+\frac{z}{x})}+1} \geq 1$
Đặt $(\frac{1}{x};\frac{1}{y};\frac{1}{z})\rightarrow (a;b;c).$ Từ giả thiết $\sum xy=3 \Rightarrow a+b+c=3abc$
Ta có: $a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc} \Rightarrow 3abc \geq 3\sqrt[3]{abc} \Rightarrow abc\geq 1$
Bất đẳng thức $\Leftrightarrow \sum \frac{a}{\sqrt{(1+\frac{a}{b})(1+\frac{a}{c})}+1}\geq 1$
$ \Leftrightarrow \sum\frac{a\sqrt{bc}}{\sqrt{(b+a)(c+a)}+\sqrt{bc}}\geq 1$
Áp dụng $Cauchy$ và $Cauchy-Swart$ ta có: $VT\geq \sum \frac{a\sqrt{bc}}{\frac{2a+b+c}{2}+\sqrt{bc}}\geq \sum \frac{(\sum\sqrt{a\sqrt{bc}})^2 }{2a+2b+2c+\sum\sqrt{bc} } \geq 1 $
Vậy bất đẳng thức được chứng minh hoàn toàn. dấu bằng khi a=b=c=1 hay x=y=z=1