$\sqrt{x^{2}+y^{2}+2x+2y+1}=3-z  (z\leq 3)  \Rightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}+2x+2y+2z=2z^{2}-4z+8\Leftrightarrow (x+y+z)^{2}=2z^{2}-4z+8.  mà   x^{4}+y^{4}+z^{4}\geq \frac{1}{3}(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}  (  tự  chứng  minh)=\frac{1}{3}(2z^{2}-4z+8)^{2}.  đặt  f(t)=1/3.(2t^{2}-4t+8)^{2}  với  t\leq 3.  đạo  hàm  tìm  maxf(t)$

bình phương 2 vế pt(1): $4x-2\sqrt{4x^{2}-y}=8x-y\Leftrightarrow 2\sqrt{4x^{2}-y}=y-4x\Rightarrow 4(4x^{2}-y)=16x^{2}-4xy+y^{2}\Leftrightarrow y^{2}-8xy+4y=0\Rightarrow y=0(loai)  \vee   y-8x+4=0\Leftrightarrow y-6x=2x-4 thay  vao  pt  (2)  \sqrt{4x^{2}-39}=3+\sqrt{2x-4}\Rightarrow 4x^{2}-39=9+6\sqrt{2x-4}+2x-4\Leftrightarrow 2x^{2}-x-22-3\sqrt{2x-4}=0\Leftrightarrow 2x^{2}-16x+32+15x-60+6-3\sqrt{2x-4}=0\Leftrightarrow 2(x-4)^{2}+15(x-4)-6.\frac{x-4}{\sqrt{2x-4}+2}=0\Rightarrow x=4  \vee   2x+7-\frac{6}{\sqrt{2x-4}+2}\Leftrightarrow 2x+4+\frac{3\sqrt{2x-4}+6-6}{\sqrt{2x-4}+2}=0\Leftrightarrow 2x+4+\frac{3\sqrt{2x-4}}{\sqrt{2x-4}+2}=0  vo  ly  do  x\geq 2.  vay  voi  x=4,  y=28  thi  thoa  DK$

đk: x>= 5/3 $\sqrt{x+2}-2+\sqrt[3]{x-1}-1+\sqrt[4]{3x-5}-1+4-2\sqrt[5]{3x+26}=0\Leftrightarrow \frac{x-2}{\sqrt{x+2}+2}+\frac{x-2}{A=\sqrt[3]{(x-1)^{2}}+\sqrt[3]{x-1}+1}+\frac{3(x-2)}{B=\sqrt[4]{(3x-5)^{3}}+\sqrt[4]{(3x-5)^{2}}+\sqrt[4]{(3x-5)}+1}-\frac{6(x-2)}{C=\sqrt[5]{(3x+26)^{4}}+2.\sqrt[5]{(3x+26)^{3}}+4\sqrt[5]{(3x+26)^{2}}+8\sqrt[3]{3x+26}+16}=0.  ta  có  x=2  là  1  No,  vs  x\neq 2\wedge x\geq \frac{5}{3}  rút  gọn  x-2,  CM:  \frac{1}{\sqrt{x+2}+2}+\frac{3}{B}+\frac{1}{A}-\frac{6}{C}>0  hay  \frac{1}{\sqrt{x+2}+2}-\frac{6}{C}>0  hay \frac{1}{\sqrt{x+2}+2}-\frac{6}{\sqrt[5]{(3x+26)^{4}}+16}>0$

đặt: $a=\sqrt{x^{2}+2x-1}  với   a\geq 0, b= x-1.  Ta  có:  \begin{cases}b^{2}-2= -2ab  (1)\\ a^{2}-b^{2}=4b+2  (2) \end{cases}  lấy  (1)+(2):  a^{2}-4+2ab-4b=0\Leftrightarrow (a+2)(a-2)+2b(a-2)=0\Leftrightarrow a=2 \vee a+2b+2=0$

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết